Механика

1. Точка движется так, что ее координаты меняются со временем по законам х = 2 + 4t, y = 2t² (м). Определить перемещение точки за время от t₁ = 1 с до t₂ = 3 с, уравнение траектории, а также скорость точки в момент времени t₁ = 1 с.

2. Движение точки по прямой задано уравнением , где А = 2 м/с, В = –0,5 м/с². Определить среднюю путевую скорость движения точки в интервале времени от t₁ = 1 c до

t₂ = 3 c.

3. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению s = Аt³, где А = 2 м/с³. В какой момент времени t нормальное ускорение а_n точки будет равно тангенциальному а_t? Определить полное ускорение а в этот момент времени.

4. Материальная точка массой m = 2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению , где С = 1 м/с², D = –0,2 м/с³. Найти значения этой силы в моменты времени t₁ = 2 c и t₂ = 5 c.

5. Тело пущено вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v₀. Коэффициент трения между телом и плоскостью μ. Определить угол α, при котором время подъема минимально, а также это минимальное время.

6. Тело массой m = 5 кг брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью v₀ = 20 м/с. Найти изменение импульса тела за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти ее скорость и модуль v, если масса у частицы 2 в η = 2 раза больше, чем у частицы 1, а их скорости перед столкновением равны = 2 + 3 [м/с] и = 4 – 5 [м/с].

8. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид: φ = A + Bt² + Ct³, где B = 4 рад/c², C = –1 рад/c³. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил в момент времени t = 2 с.

9. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная тангенциальная сила F =100 Н. При вращении на диск действует сила трения, момент которой M_тр=5 Н∙м. Определить массу диска, если он вращается с угловым ускорением ε =100 рад/с².

10. В системе, изображенной на рисунке, считать блок массой M сплошным цилиндром, тела m₁ и m₂ - материальные точки, нити невесомы и нерастяжимы. Трение не учитывать. Найти силы натяжения нитей T₁ и T₂ в процессе движения.

11. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6 кг×м²?

12. Пуля массой m = 10 г, летевшая со скоростью v = 600 м/с, попала в баллистический маятник массой М = 5 кг и застряла в нeм. На какую высоту h, качнувшись после удара, поднялся маятник?

13.Уравнение колебаний тела дано в виде x = 2 sin см. Найти период Т, максимальную скорость и максимальное ускорение тела.