Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через и , примем расстояние между ними через , а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через . Из определения следует , значит .

Выведем уравнение гиперболы, расположенной на плоскости так, что фокусы и лежат на оси , а середина отрезка совпадает с началом координат, т.е. фокусы имеют координаты и

Пусть - произвольная точка гиперболы. Согласно определению гиперболы , по определению модуля . Выразим расстояния в координатной форме:

.

Проведя равносильные преобразования и приняв , получим каноническое уравнение гиперболы

.

Из канонического уравнения вытекают следующие свойства гиперболы:

1. Каноническое уравнение гиперболы содержит переменные и только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей координат , и относительно точки - центра гиперболы.

2. Точки пересечения с осями координат: с осью гипербола имеет две точки пересечения и ; с осью точек пересечения нет, т.к. при получаем противоречивое уравнение .

3. Точки и называются вершинами гиперболы, а отрезок – действительной осью гиперболы. Отрезки – действительная полуось гиперболы.

4. Отрезок , где и называют мнимой осью гиперболы. Отрезки – мнимая полуось гиперболы.

5. Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы.

6. Из канонического уравнения гиперболы следует, что уменьшаемое , следовательно . Следовательно, точки гиперболы располагаются справа от прямой и слева от прямой , образуя правую и левую ветви гиперболы.

7. Прямые являются асимптотами гиперболы.

8. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы: . Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: .

9. Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны . Ее каноническое уравнение .

10. Прямые называются директрисами гиперболы.

11. Кривая, определяемая уравнением также задает гиперболу. Гиперболы и называют сопряженными.