ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Площадь плоской фигуры

а) Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(х)³0(рис. 1а).

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(х), осью Ох и прямыми х=а и х=b, равна . (1)

а) б)

Рисунок 1

б) Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(х)£0(рис. 1б).

Тогда определенный интеграл £0. По абсолютной величине он равен площади соответствующей криволинейной трапеции: . (2)

в) Пусть на отрезке [a,b] функция f(х) конечное число раз меняет знак(рис. 2а).

На отрезке [a,b] определенный интеграл разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Площадь заштрихованной плоской фигуры равна сумме абсолютных величин интегралов по частичным отрезкам: . (3)

Пример. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривой и осью Ох при 0£х£p.

(кв.ед.).

а) б)

Рисунок 2

г) Площадь фигуры, ограниченной кривымиу=f₁(х) и у=f₂(х) и прямыми х=а и х=b(рис. 2а), вычисляется по формуле: . (4)

д) Пусть на отрезке [a,b] кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t).Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х=а, х=b и осью Ох, вычисляется по формуле

, (5)

где t₁ и t₂ определяются из уравнений , ( при ).

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом (рис. 3а).

Ввиду симметрии эллипса достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении сначала х=0, затем х=а, получим пределы интегрирования .

(кв.ед.).

а) б)

Рисунок 3

е) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными лучами и ( ), вычисляется по формуле: . (6)

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией , которая называется трехлепестковой розой (рис. 3б).