При обработке результатов измерений

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ВВЕДЕНИЕ

Пенза, 2007

Печатается по решению редакционно-издательского совета. Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского

УДК 538. 3 (075)

Казаков, А. Ю. Электромагнетизм. Введение / А. Ю. Казаков, Т. В. Ляпина, Р. В. Зайцев. – Пенза: ПГПУ, 2007. – 33 с.

Учебно-методическое пособие предназначено студентам, изучающим на физико-математическом и других факультетах физику. Пособие содержит элементы теории, описание конкретных лабораторных работ, поэтапные инструкции по их выполнению, контрольные вопросы и задания.

© Пензенский государственный
педагогический университет
имени В. Г. Белинского, 2007

© А. Ю. Казаков, 2007

© Т. В. Ляпина, 2007

© Р. В. Зайцев, 2007

Оценка погрешностей физических величин

при обработке результатов измерений

I. Прямые измерения

Прямым называется такое измерение, при котором спомощью прибора измеряется непосредственно исследуемая величина x_изм. Например, измерение длины с помощью линейки.

2. Косвенные измерения

Косвенным называется такое измерение, при котором искомое значение величины находится на основании известной зависимости меж­ду этой величиной и величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например, измерение плотности тела по результатам прямых измерений его массы и объема.

3. Абсолютная и относительная погрешности измерения

Абсолютная погрешность х измерения − это разность между измеренным x_изм и истинным значением х₀ измеряемой величины:

х=x_изм-х₀ (2.1)

Относительной погрешностью измерения называется отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

= 100% (2.2)

Истинное значение измеряемой величины х₀ неизвестно. Наиболее близко к истинному значению среднее значение измеряемой величины <х>, определяемое по формуле:

= = , (2.3)

где х_i − значение измеряемой величины в i -м измерении; n − число измерений. Оценку абсолютной погрешности i-го измерения можно найти по формуле:

х_i = х_i - . (2.4)

4. Систематические и случайные погрешности

Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при измерениях. Она вызвана точностью метода измерения, а также погрешностями приборов, которые могут быть учтены специальной калибровкой.

Случайная погрешность измерения − это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом даже при повторных прямых измерениях. Например, при случайных измерениях температуры в комнате изменяется сопротивление и сила тока в проводниках.

5. Некоторые сведения из теории вероятностей

При многократных измерениях одной и той же величины х получаются случайные величины х₁ ,…, х_n. Соответственно случайными величинами являются и абсолютные погрешности х_i = х_i −<х>, которые могут подчиняться нормальному закону распределения Гаусса:

, (2.5)

где −функция, характеризующая вероятность погрешности х ;

− среднее квадратическое отклонение случайной величины от среднего значения.

Рис. 2.1

Поскольку х с равной вероятностью может быть как больше, так и меньше нуля, то с увеличением числа измерений среднее значение < х > 0 . График зависимости дан на рис. 2.1. С ростом максимум кривой Гаусса убывает, но площадь под кривой остается постоянной, что связано с условием нормировки:

(2.6)

Условие (2.6) означает, что вероятность попадания случайной величины х в интервал равна 1. Соответственно значение интеграла

(2.7)

есть вероятность попадания в конечный интервал

. (2.8)

В теории вероятности доказывается, что приближенное значение среднего квадратического отклонения при наличии n независимых изменений случайной величины можно рассчитать по формуле

. (2.9)

Значение стремится к своему точному значению с ростом n.

Назовем доверительной границей погрешности х величину , если х попадает в интервал с заданной вероятностью Р. Очевидно, что с ростом Р должно увеличиваться и .При проведении лабораторных работ рекомендуется выбирать Р= 0,9.

Теория вероятности позволяет связать с величиной :

, (2.10)

где t−коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений п и доверительной вероятности Р .

6. Оценка случайной погрешности прямых измерений

Оценить доверительную границу случайной погрешности х можно по формуле (2.10). Зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений для Р =0,9 приведена в табл.1.

Т а б л и ц а 1

Число измерений									30…
Коэффициент Стьюдента	2,9	2,4	2,1		1,9	1,9	1,9	1,8	1,7…	1,645

При прямых измерениях, когда результаты отдельных измерений одинаковы ( х_i =0), доверительная граница оценивается по приборной погрешности согласно выражению

, (2.11)

где =1,645 для n= ; − абсолютная максимальная погрешность прибора (или половина цены его наименьшего деления).

Когда значение доверительной границы, рассчитанной по формуле (2.10), оказывается сравнимым со значением (2.11), результирующая погрешность измерения находится из выражения

. (2.12)

7. Порядок аналитической обработки результатов прямых измерений

1. Рассчитать среднее значение измеряемой величины по формуле (2.3).

2. Рассчитать абсолютную погрешность каждого измерения по формуле (2.4).

3. Рассчитать среднеквадратическое отклонение по формуле (2.9).

4. Рассчитать для доверительной вероятности Р =0,9 по формуле (2.10).

5. Рассчитать по формуле (2.11).

6. Определить результирующую погрешность по формуле (2.12).

7. Записать полученный результат и погрешность.

8. Оценка доверительной границы погрешности косвенных измерений

Пусть проводятся косвенные измерения величины A(x,y,z), где x,y,z результаты прямых измерений. В этом случае доверительная граница погрешности вычисляется по формуле:

, (2.13)

где − частые производные, рассчитанные по средним значениям измеряемых величин <x>, <y>, <z>;

- доверительные границы погрешности прямых измерений величин x, y, z, определяемые по формуле (2. 12).

Относительная погрешность косвенных измерений искомой величины А находится по уравнению:

, (2.14)

где <А>= f(<x>, <y>, <z>); (<x>, <y>, <z>)определяется по формуле (2.3).

9. Порядок аналитической обработки результатов косвенных измерений

1. Измерить несколько раз величины x ,y ,z (не менее трех измерений каждой величины).

2. Найти среднее значение каждой из этих величин по формуле (2.3).

3. Определить среднее значение искомой величины по расчетной формуле: <A>=f(<x>, <y>, <z>).

4. Оценить доверительную границу погрешности косвенных измерений по формуле (2.13).

Для этого:

а) найти частные производные расчетной формулы , а также квадрат этих производных;

б) определить абсолютные погрешности отдельных измерений по формуле (2.4) и среднеквадратические отклонения величин x ,y, z по формуле (2.9);

в) оценить доверительную границу случайной погрешности прямых измерений по формуле (2.10), выбрав коэффициент Стьюдента t по табл.1;

г) оценить доверительную границу погрешности по формуле (2.11);

д) оценить доверительную погрешность прямых измерений по формуле (2.12). В случае, если какая-либо из погрешностей равна нулю, то доверительную границу погрешности этой величи­ны найти по формуле (2.11);

е) рассчитать по уравнению (2.13).

5. Вычислить относительную погрешность измерений по формуле (2.14).

6. Записать полученный результат в следующем виде:

<A> ; от - до + ; Р = О,9.

Примечание. В окончательном результате число значащих цифр должно совпадать с разрядом первой значащей цифры абсолютной по­грешности. Например, расчет напряженности магнитного поля дает

Н=60,6 А/м, =1,5 А/м, P=0,9.

Окончательная запись результата эксперимента:

Н=61 А/м, = 1,5 А/м, P=0,9.

7. Если в опыте требуется получить зависимость Н(х), которая в процессе измерений примет разные значения, то при каждом значении х выполнить расчеты по пп. 1...5 разд. 9, как это показано на рис. 2.2. Для каждой точки длина горизонтального участка линии равна 2 , а вертикального 2 .

10. Графическая обработка результатов измерений

Через экспериментальные точки всегда следует проводить наиболее простую кривую, совместимую с этими точками. Например, кривой на рис. 2.2 не следует придавать никаких изгибов, так как отклонение точек I и 2 лежат в пределах погрешности эксперимента. При проведении кривой нужно следить, чтобы экспериментальные точки расположились как выше, так и ниже кривой по возможности равномерно. С этой точки зрения прямая на рис. 2.2 проведена неверно, так как большинство экспериментальных точек расположены ниже прямой. Математическое правило проведения кривых заключается в следующем. После того как тип кривой выбран (в виде прямой, параболы, экспоненты), из тех или иных соображений, чаще всего теоретических, параметры кривой должны быть подобраны так, чтобы сумма квадратов отклонений от нее всех экспериментальных точек была наименьшей.

При некотором навыке доверительная граница погрешности измеряемой величины может быть оценена графически.

Рис. 2.2 Рис. 2.3

11. Порядок графической обработки результатов измерений

Графический способ обработки целесообразно применять, когда при определении зависимости А(x,y,z) переменная величина непре­рывно изменяется. В этом случае многократно измерения величин x,y,z провести нельзя. Обработка результатов проводится в следующей последовательности:

1. Определить искомую величину А для каждого измеренного х.

2. Нанести на график полученные значения A=f(x) (рис. 2.3).

3. Провести плавную кривую I, чтобы одна половина точек располагалась выше, а вторая ниже кривой I.

4. Провести плавную кривую 2 так, чтобы выше ее располагалось две трети точек.

5. Провести плавную кривую 3 так, чтобы ниже ее располагалось две трети точек.

6. Определить по графику величину , авеличину рассчитать по формуле .

7. Определить коэффициент Стьюдента t по заданному числу измерений п и доверительной вероятности Р = 0,9 по табл.I.

8. Оценить доверительную границу случайной погрешности:

9. По формуле (2.11) оценить случайную погрешность измерения , зависящую от погрешности приборов.

10. Полную доверительную границу случайной погрешности рассчитать по формуле:

где t берется при по табл.1, a −погрешность считывания с рис. 2.3 величины < >.

Окончательный результат записать в виде:

<А>; от - до + ; P=0,9;

х; от - до + ; Р=0,9.

В соответствии с ( 2.12) , , где определяется по соотношению (2.11), , где − погрешность считывания с графика величины х .

12. Пример графической обработки результатов прямых измерений

В табл. 2 представлены результаты исследований вольт-ампер­ной характеристики образца на установке, изображенной на рис. 2.4.

Т а б л и ц а 2

Сила тока, проходящего через образец, измеряется амперметром (полная шкала − на 150 мА, класс точности 0,5), а напряжение на нем − вольтметром (полная шкала − на 15 В, класс точности 2).

По результатам измерений, приведенным в табл. 2, строится график на миллиметровой бумаге (рис. 2.5).

Проанализировав распределение точек на рисунке, мы видим, что экспериментальные данные в рассматриваемом диапазоне хорошо ложатся на прямую линию:

U=a+bI,(2.15)

где а=2,3 В; b= =57,3

(b определим как тангенс угла наклона).

Определим погрешность экспериментальных данных, представляемых уравнением (2. 15).

1. В соответствии с разд. 11 проводим прямую I так, чтобы одна половина точек располагалась выше, а другая ниже прямой I. Прямую 2 проводим так, чтобы выше ее располагалось две трети точек, а прямую 3 проводим так, чтобы ниже ее располагалось также две трети точек. По графику (приближенно) отсчитываем величину среднеквадратического отклонения отдельного измерения:

=0,4 В.

2. Рассчитываем величину среднеквадратического отклонения

=0,07 В.

3. Рассчитываем доверительную границу случайной погрешности измерения напряжения по формуле (2.10), взяв по табл.1 коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р= 0,9 и n=29 (t₂₉=1,7):

=0,07 1,7=0,119 В .

4. Рассчитываем доверительную границу случайной погрешности измерения напряжения, связанную с погрешностью вольтметра класса 2 по формуле (2.11) для доверительной вероятности Р = 0,9 (t_∞=1,645):

= =0,1645 В.

=15 В 0,02=0,3 В.

5. Рассчитываем полную доверительную границу случайной погреш­ности по соотношению (2.12) при Р= 0,9 (t_∞=1,645):

=0,2 В.

6.Определяемдоверительную границу случайной погрешности измерения тока , связанную с погрешностью амперметра класса 0,5 по соотношению (2.11):

=4,1 10^-4A;

=0,15 0,005=7,5 А.

7. Записываем результат измерения напряжения в диапазоне U=3–11В и силы тока в диапазоне I= 10 – 150 мА на образце в соответствие с разд. 9:

U= (3,0 – 11, 0 ) В; = – 0,2 В…+0,2 В ; Р=0,9;

I= (0,01 – 0, 15) А; = – 0,0004…+0,0004 А; Р=0,9.

Лабораторная работа № 1

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

РЕЗИСТОРА

Цель работы. Изучить устройство и принцип работы электроизмерительных приборов. Отработать навыки измерения параметров электрической цепи. Снять вольт-амперную характеристику резистора. Провести аналитическую и графическую обработку результатов измерения сопротивления резистора.

Приборы и принадлежности: амперметр, вольтметр, ключ, источник постоянного тока, реостат, резистор, соединительные провода.