Минимизация булевых функции в базисе Шеффера

с помощью диаграмм Вейча.

При использовании диаграмм Вейча строится прямоугольная таблица, число клеток которой равно числу возможных наборов аргументов. Каждой клетке этой таблицы соответствует набор аргументов и - местная функция Шеффера, где - число аргументов функции, равная единице на этом наборе. Требуется, чтобы в соседних клетках эти функции отличались только одним аргументом.

При минимизации следует руководствоваться следующими правилами:

1) Строится и размечается прямоугольная таблица, число клеток которой равно числу возможных наборов аргументов.

2) В клетки таблицы заносятся значения булевой функции. При поиске клеточки таблицы аргумент набора равный 1 берется без отрицания, а равный нулю – с отрицанием. В найденную клетку записывают значение функции.

3) Обводят контурами все 1 с соблюдением следующих правил:

- контур должен быть прямоугольным;

- внутри контура не должно быть нулей;

- при обводке следует получить минимальное число контуров максимальной площади;

- число единиц в контуре должно быть равно степени числа 2 (1, 2, 4, 8, 16,…);

- одна и та же клетка, заполненная единицей может входить в несколько контуров;

- при обводке следует учитывать, что самая верхняя и самая нижняя строки таблицы являются соседними. Соседними являются также крайний левый и крайний правый столбцы.

- количество контуров должно быть как можно меньше, а площадь контуров – как можно больше.

4) Записывают минимальное выражение как функцию Шеффера над логическими выражениями, которые описывают контура таблицы. Логическое выражение для контура представляет собой операцию Шеффера от аргументов. Для поиска логического выражения для контура выясняют, от каких аргументов он зависит. Если все 1 контура приписаны к аргументу , то в логическое выражение этот аргумент входит. Если все единицы контура помечены инверсией аргумента, то в выражение вписывается . Если в контуре есть 1, помеченные и 1, помеченные , то в описание контура этот аргумент не входит.

ВАЖНО! При минимизации в базисах Шеффера и Пирса действуют два дополнительных правила:

1) Если контур занимает половину таблицы, то над аналитическим описанием этого контура ставится дополнительное отрицание;

2) Если в таблице только один контур, то над ним также следует поставить дополнительное отрицание.

Естественно, если в таблице только один контур, и он занимает половину таблицы, то над ним ставятся два дополнительных отрицания.

Эти особенности обусловлены тем, что базисы Шеффера (И-НЕ) и Пирса (ИЛИ-НЕ) связаны с инвертированием операции И или операции ИЛИ над аргументами. Минимальное выражение – это функция Шеффера (Пирса) над логическими описаниями контуров. Если в таблице один контур, то при выполнении функции Шеффера получим: , т.е нужно дополнительное отрицание.

Описание контура – это функция Шеффера (Пирса) над аргументами, от которых этот контур зависит. Если он занимает половину таблицы, то он зависит от одного аргумента и поэтому над ним следует поставить дополнительное отрицание.

Пример: минимизировать в базисе Шеффера функции:

, , , .

Очевидно Вы заметили, что правила заполнения и обводки одинаковы при минимизации в базисе Шеффера и при получении минимальных дизъюнктивных нормальных форм. Следовательно, МДНФ можно получить из этих же таблиц: , .