Введение

Булева алгебра является одним из китов, на которых держится вычислительная (цифровая) техника. Булева алгебра – это часть математической логики, а именно алгебра логики, названная булевой алгеброй в честь ее создателя – Дж. Буля (1815–1864 гг.).

Базой алгебры логики являются понятия высказывания, истинности и ложности высказывания, связях высказываний.

Высказывания в зависимости от значения бывают истинными или ложными. Значение высказывания может изменяться с изменением обстоятельств, в результате чего может измениться оценка его истинности. Таким образом, высказывания можно разделить на:

Истинное постоянно – его принимают за 1;

Ложное постоянно – его принимают за 0;

Высказывание, которое может быть истинным или ложным, т.е. иметь значения 1 и 0 в зависимости от определенных условий, – его принимают за логическую переменную x.

Замечание: Здесь 1 и 0 не цифры, а символы, обозначающие истину и ложь.

Высказывания бывают простыми и сложными.

Простые высказывания – это логические переменные.

Сложные высказывания – это логические функции. Они состоят из простых высказываний (аргументов) и связок типа НЕ; И; ИЛИ; ЕСЛИ …, ТО …; … ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ….

Если аргументы обозначить символами латинского алфавита, а связки символами логических операций , то логические функции можно представить в виде формул.

Для логических операций установлен определенный порядок их выполнения, определяемый приоритетами (см. ниже). Для изменения этого порядка, как и в обычной алгебре, используют скобки.

Историческая справка: Первая работа Дж. Буля по алгебре логики появилась в 1847 г., а окончательный вариант в 1854 г. Дж. Буль, разрабатывая алгебру логики, вряд ли предполагал, что пользоваться ею будут миллионы людей, правда, до широкого применения математической логики прошло достаточно много времени. хотя еще в 1910 г. П. Эренфест обратил внимание на возможность применения математической логики для решения прикладных вопросов релейно–контактных схем, но только в 1938 г. К. Шенноном и В.И. Шестаковым была сделана первая попытка описать логические схемы на реле в терминах алгебры логики. В 1950 г. эта идея была оформлена в работе М.А. Гаврилова как теория логического проектирования релейно–контактных схем. В дальнейшем многие отечественные и зарубежные ученые проводили исследования в области теории и технологии проектирования логических схем. Сегодня булева алгебра вполне сформировавшийся раздел дискретной математики, используемый не только в вычислительной технике, но и во многих других отраслях науки и техники.