Функция проводимости схемы

Пусть x₁, x₂, ... , x_n – набор контактов в схеме. Контакты могут быть размыкающими и замыкающими. Контакт называется замыкающим, если он замыкается при подаче напряжения. Контакт называется размыкающим, если он размыкается при подаче напряжения. Один и тот же контакт в схеме может быть как замыкающим, так и размыкающим [3,4].

Каждой последовательно - параллельной схеме можно поставить в соответствие формулу логики булевых функций, реализующую функцию проводимости этой схемы.

(6.1.)

Функция проводимости схемы, состоящей из одного элемента x, для замыкающего контакта есть f(x) = x, а для размыкающего контакта f(x) = . Две схемы считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую функцию проводимости. Применяя равносильные преобразования, можно упрощать релейно-контактные схемы, заменяя их эквивалентными, с меньшим числом контактов.

Соединим переключатели x и y последовательно и построим таблицу проводимости этой цепи (рис.6.2.).

Рисунок 6.2. Последовательное соединение переключателей (а)

и таблица проводимости цепи (б).

Эта таблица совпадает с таблицей истинности логической операции конъюнкции .

Функция проводимости схемы, состоящей из двух параллельно соединенных контактов x и y (рис.6.3) есть f(x, y) = x V y, т.е. параллельному соединению переключателей соответствует операция дизъюнкция.

Рисунок 6.3. Параллельное соединение контактов x и y.

Каждой последовательно - параллельной схеме можно поставить в соответствие формулу логики булевых функций, реализующую функцию проводимости этой схемы (рис.6.4.). Две схемы считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую функцию проводимости. Применяя равносильные преобразования, можно упрощать релейно-контактные схемы, заменяя их эквивалентными, с меньшим числом контактов.

Рис. 6.4. Переключательные модели констант 0 и 1

и функций И, ИЛИ, НЕ.

Пример 6.1. Построить схему, состоящую из трех переключателей, которая проводит ток только тогда, когда ровно один переключатель включен.

Решение. По данному условию работы схемы построим ее таблицу проводимости.

x	y	z

Построим формулу, соответствующую этой таблице. Проще построить ее в виде СДНФ: . Требуемая схема выглядит следующим образом:

Пример 6.2. Упростить данную переключательную схему так. Чтобы она содержала возможно меньшее число обозначений переключателей.

Решение. Работа этой цепи описывается формулой

.

Упростим эту формулу, используя законы поглощения и склеивания:

Упрощенная схема имеет вид:

Пример 6.3.Найдем функцию проводимости схемы, изображенной на рисунке 6.4.

Рисунок 6.4.

Пример 6.4. Для логической функции f(x,y,z)=xz Ú xyz Ú xyz Ú xyz, построить соответствующую ей и ее минимальным ДНФ контактные схемы.

Решение. Конъюнктивным членам заданной функции соответствуют участки контактной схемы с последовательно расположенными на них контактами.

Рисунок 6.5.

Так как конъюнктивные члены соединены между собой знаками дизъюнкций, то эти участки подключены параллельно друг другу. Таким образом, для рассматриваемой логической функции получаем следующую контактную схему, представленную на рисунке 6.5., а для двух ее минимальных ДНФ имеем соответственно на рисунке 6.6. схемы

Рисунок 6.6.

Заметим, что контактная схема заданной логической функции имеет 11 контактов, тогда как каждая из эквивалентных ей контактных схем, соответствующих минимальным ДНФ, всего по 6 контактов.

6.2. Элементы, образующие
логический базис

Набор логических элементов, реализующих некоторые базисные логические функции, соответствует функционально полному набору логических элементов. Из такого набора можно построить сколь угодно сложные логические устройства. Элементы, образующие функционально полный набор, называются базисными логическими элементами [1-14].

Обычно, первичной алгебраической формой логических функций является ДСНФ либо КСНФ, либо МДНФ, либо МКНФ. При этом логические функции представляются через операции дизъюнкции, конъюнкции и инверсии, что соответствует набору ЛЭ, состоящему из элементов И, ИЛИ и НЕ. Этот набор является избыточным базисом. В этом случае говорят, что для построения устройств использован базис {И, ИЛИ, НЕ}.

Как правило, возникает задача определения функциональной полноты некоторого набора логических элементов, имеющихся в распоряжении пользователя-проектировщика. Одним из методов доказательства функциональной полноты набора ЛЭ (предоставленного либо заданного) является доказательство того, что на выбранном наборе, обходясь только входящими в набор элементами, можно реализовать операции - конъюнкции, дизъюнкции и инверсии.

Выбирая тот или иной базис представления логических функций и соответственно тот или иной функционально полный набор логических элементов, можно создавать устройства с высокой степенью унификации технических решений (унифицированные устройства) и обеспечить минимальные аппаратурные затраты.