Формальне визначення______________________________________________

Булева алгебра

Бу́лева а́лгебра — це алгебраїчна структура, що є доповненою дистрибутивнною ґраткою, та частина математики яка вивчає подібні структури.

Не варто плутати з Алгеброю логіки — яка є частковим випадком Булевої алгебри, але в математичній логіці замість неї вживають термін «Булева алгебра».

Алгебра логіки — застосування алгебраїчних методів і символіки для вивчення логічних відношень і розв'язання логічних задач.

Булева алгебра утворена підмножинами множини {x,y,z}

Формальне визначення______________________________________________

Булева алгебра — алгебраїчна структура з двома бінарними операціями:

· («meet», «булеве множення») — узагальнення кон'юнкції,

· («join», «булеве додавання») — узагальнення диз'юнкції,

та унарною операцією:

· чи («булеве доповнення») — узагальнення заперечення;

що задовільняють такі аксіоми:

(комутативність)

(асоціативність)

(закон поглинання)

(дистрибутивність)

(доповнення)

З аксіом випливають такі теореми:

(ідемпотентність)

Тобто вирази та не залежать від вибору елемента.

Елемент називається булевою одиницею 1, елемент називається булевим нулем 0.

(правила де Моргана)

(інволюція заперечення)

Над множиною A також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:

1. x≤x (рефлективність)

2. якщо x≤y та y≤x, то x=y (антисиметричність)

3. якщо x≤y та y≤z, то x≤z (транзитивність)

Замість x≤y можна писати у≥x. Множина з таким відношенням має назву впорядкованої.

Нехай S — підмножина елементів впорядкованої множини A. Елемент a' має назву верхньої (нижньої) границі S, якщо для будь-якого а з S справедливе a ≤ a' (a ≥ a'). Якщо множина усіх верхніх (нижніх_ границь множини S містить найменший (найбільший) елемент, то він має назву точної верхньої (точної нижньої) границі і позначається sup S(inf S). Якщо для будь-яких a, b з множини A існують inf (a, b) та sup (a, b), то така множина називається структурою або решіткою. Точна верхня границя такої множини є , точна нижня границя є .