Что требуют в задачах?

Первый тип:Найти точку минимума (максимума) функции y=… на отрезке x=[...].

В ответе требуется найти значение х, причём обязательно десятичное!

Второй тип:Найти наименьшее (наибольшее) значение функции y=… на отрезке x=[...].

А здесь в ответе должно быть значение y, также десятичное:

Алгоритм для ПЕРВОГО типа:

1. Найти производную функции y’(x)

2. Решить уравнение y’(x)=0

Корни уравнения — это стационарные точки. Из них мы и должны выбрать ответ — точку минимума или максимума (после 3-его пункта).

3. Исследуем функцию на возрастание–убывание на заданном в условии промежутке — КАК это?

3.1. рисуем простую числовую ось:

3.2. отмечаем на ней заданный промежуток для х:

3.3. отмечаем на ней наши стационарные точки (корни уравнения):

3.4. рисуем плюсики и минусы — промежутки возрастания и убывания функции:

P.S. как выбрать плюсик или минус на промежутке?

1. выбираем любую точку в промежутке,

2. подставляем в производную

3. если >0, то функция возрастает и ставим +

4. если <0, то функция убывает и ставим -

4. выбираем точку минимума. Она должна лежать в нашем промежутке — это раз! Знак производной должен меняться с минуса на плюсик (слева направо) — это два!

или точку максимума. Она также должна лежать в нашем промежутке, но знак производной должен меняться с плюсика на минус!

5. Записываем ответ!

Применим алгоритм к задаче.

Задание:Найдите точку минимума функции на отрезке

Решение:
1. По формуле производной произведения двух функций найдем производную функции y(x):

2. Решаем уравнение y’(x)=0:

x=7 – стационарная точка.

3. Исследуем функцию на возрастание-убывание:

4. x=7 – точка минимума функции, т.к. знак меняется с минуса на плюсик.

Ответ: 7

________

Алгоритм для ВТОРОГО типа: Первые 4 пункта те же, что и для первого типа!

1. Найти производную функции y’(x)

2. Решить уравнение y’(x)=0

Корни уравнения — это стационарные точки. Из них мы и должны выбрать решение — точку минимума или максимума.

3. Исследуем функцию на возрастание–убывание на заданном в условии промежутке.

4. выбираем точку минимума (или максимума).

5. находим значение функции в этой точке — это и есть минимальное (максимальное) значение функции:

y(X1) = …

где Х1 — точка минимума (максимума)

6. Записываем ответ!

Задание:Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Решение:

1. Найдем производную функции:

2. Решаем уравнение y’(x)=0:

x=1 и x=–0,25 – стационарные точки

3. Исследуем функцию на возрастание–убывание на заданном в условии промежутке. Из формулы производной видно, что при x>1 она принимает положительные значения.

4. x=1 – точка минимума

5. Найдем значение функции в этой точке: