Булевы операции над понятиями

.

Операции над объемами понятий (классами) называются булевыми (в честь английского логика Джорджа Буля, сформулировавшего алгебру логики − булеву алгебру). К числу булевых операций над понятиями относятся следующие процедуры: взятие дополнения, пересечение, объединение, вычитание и симметрическая разность.

Пересечение объемов двух понятий равняется классу предметов, которые входят одновременно в объем каждого из них. Объединение объемов двух понятий равняется классу предметов, которые входят в объем по крайней мере одного из них. Вычитание объема одного понятия из объема другого понятия равняется классу предметов, которые входят в объем первого, но не входят в объем второго. Симметрическая разность объемов двух понятий равняется классу предметов, которые входят в объем только первого или только второго. Дополнение к объему понятия представляет собой класс предметов, которые не входят в объем этого понятия.

Графически булевы операции можно изобразить при помощи диаграмм Венна.

Основные законы булевой алгебры:

1) ~~A = A

2) A È ~A = U, где U − универсум

3) A È ~A = Æ, где Æ − пустое множество

4) ~(A È B) = ~A Ç ~B

5) ~(A Ç B) = ~A È ~B

6) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

7) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

8) A\B = A Ç ~B

9) ~(A\B) = ~A È B

Например:

~(~(A Ç ~C) Ç ~(C Ç ~A)) È (B Ç ~(A È C)) =

(~ ~(A Ç ~C) È ~ ~(C Ç ~A)) È (B Ç ~(A È C)) = (з-н №5)

(A Ç ~C) È (C Ç ~A) È (B Ç ~(A È C)) = (з-н №1)

(A Ç ~C) È (C Ç ~A) È (B Ç ~A Ç ~C) = (з-н №5)

A\C È C\A È B\A\C (з-н №8)

Получаем следующий результат:

А\С: С\А: В\А\С:

Объединив, получаем: