Решение

В пространстве состояния любая многомерная динамическая система описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка в явной форме:

x = f (x, u, t), (9)

где x(t) - n-мерный вектор-столбец, компонентами которого являются переменные со­стояния, u(t) - r-мерный вектор-столбец, координаты которого содержат значения выход­ных переменных, t - независимая переменная, время. Уравнение (9) часто называют урав­нением состояния. Выходная переменная может быть представлена следующим образом

(10)

Уравнение (10) называется уравнением выходной переменной.

Для многомерных линейных систем уравнения (9), (10) соответственно принимают вид:

= A(t )x(t) + B(t )u(t) (11)

= C(t) x (t) + D(t )u (t) (12)

где A(t), B(t), C(t), D(t) – матрицы размера (n x n), (n x r), (k x n), (к х к) соответственно.

Если матрицы А, В, С, D не зависят от времени, то такая система называется мно­гомерной стационарной системой.

Для описания динамики системы в пространстве состояний необходимо также за­дать вектор начальных условий:

.

В SimuLink для моделирования систем, представленных в пространстве состояния существует блок State-Space. В окне редактирования блока State-Space приняты сле­дующие обозначения :

· x - вектор состояния,

· u - вектор входных воздействий,

· y - вектор выходных сигналов,

· A, B, C, D - матрицы: системы, входа, выхода и обхода, соответственно.

· Initial condition - Вектор начальных условий.

· Absolute tolerance — Абсолютная погрешность.

Размерность матриц показана на Рисунке 31 (n - количество переменных состояния, m – число входных сигналов, r – число выходных сигналов).

Рис. 31. Блок State-Space.

Найдем значения матриц A, B, С, D для колебательной системы, имеющей од­ну степень свободы, уравнение движения которой имеет вид:

(13)

где ω - циклическая частота, х - смещение колеблющейся материальной точки от поло­жения равновесия, f(t) - вынуждающая сила, отнесенная к массе колеблющегося тела. В качестве компонентов вектора состояния выберем

Тогда уравнение (13) примет вид:

(14)

Стандартная форма уравнений состояния (10) в векторно-матричных обозначениях имеет вид:

= Ax(t) + Bu(t) , где , , , .

Если выходом рассматриваемой системы является смещение колебательной систе­мы от положения равновесия, то y = x₁, тогда C = [1 0] и D = 0

Если выходом рассматриваемой системы является её скорость, то y = x₂, тогда C = [0 1], D = 0.

Если выходами рассматриваемой системы являются и смещение колебательной системы относительно положения равновесия, и ее скорость, то , ,

В нашем случае: u = f (t) = sin(t), ω = 1, y = x₁

Зададим время .

На рис. 32 представлена s-модель системы (14), а на рис. 15 окно редактирования блока State-Space.

Вывод

Я познакомиться с пакетом имитационного моделирования SimuLink и изучил воз­можности решения с его помощью дифференциальных уравнений. Выполнил задачи:

- изучить интерфейс и библиотеку блоков пакета SimuLink;

- научиться создавать s - модели;

- научиться решать дифференциальные уравнения с помощью составления их s - моделей и с помощью специального решателя.