степенного ряда

Используя теорему Абеля, можно показать, что для каждого степенного ряда вида (2.2.2), имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости (т.е. сходящегося не только в точке и не на всей числовой прямой), существует такое положительное число R, что для всех x, удовлетворяющих условию , ряд абсолютно сходится; а при ряд расходится. При x=± R возможны различные случаи: а) ряд может сходиться в обеих точках ± R; б) ряд может расходиться в обеих точках ± R; в) ряд может сходиться в одной из них абсолютно или условно и расходиться в другой (рис.2.4.1). Чтобы выяснить сходимость ряда на границах интервала, нужно подставить значения x=± R в ряд (2.2.2) и исследовать полученные числовые ряды:

с помощью известных признаков сходимости. В одних случаях могут получаться знакоположительные ряды, в других – знакочередующиеся.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом сходимости. После исследования границ получим уточнённый интервал сходимости, называемый областью сходимости.

Предельные случаи, когда ряд (2.2.2) сходится только при x=0 или сходится при всех значениях x, символически записывают так: R =0 или R =¥.

Так как внутри интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то для нахождения интервала сходимости этого ряда достаточно найти те значения аргумента x, при которых сходится ряд, составленный из модулей членов степенного (в общем случае знакопеременного) ряда. Для этого можно применить признак Д’Аламбера. Это равносильно тому, чтобы к исходному ряду применить общий признак Д’Аламбера.

Пример 1.Найти интервал сходимости ряда

По общему признаку Д’Аламбера вычисляем предел модуля отношения последующего члена к предыдущему:

Þ ряд абсолютно сходится, если Длина интервала сходимости равна двум единицам, радиус сходимости . Проверим сходимость ряда при x =-1 и x=1. При x =-1:

.

Полученный числовой ряд сходится абсолютно, т.к. ряд, составленный из модулей его членов (он находится в скобках), является обобщённым гармоническим с . При x=1:

ряд сходится абсолютно по той же причине.

Замечание.Радиус сходимости ряда с последовательно возрастающими степенями (нулевая, первая, вторая, и.т.д) можно также найти по формуле:

, (2.4.1)

где и – коэффициенты при степенях х. Подчеркнём, что она годится лишь в случае, когда в ряде вида (2.2.2) или (2.2.1) присутствуют все степени х.

В данном примере

.

Центр сходимости .

Пример 2. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Данный ряд имеет вид (2.2.1):

Все степени х и 3 нечётны. Воспользуемся общим признаком Д’Аламбера.

,

.

По признаку Д’Аламбера ряд будет сходиться тогда, когда l<1, т. е. при Решая это неравенство относительно x, получим:

Û .

Интервал сходимости (без учёта границ) , его длина равна 6 единицам. Радиус сходимости , центр сходимости .

Проверим границы интервала сходимости. Для этого надо исследовать сходимость двух числовых рядов, полученных подстановкой в степенной ряд граничных точек интервала. В данном примере такими точками являются x₁=-1 и x₂=5.

При x₁=-1:

Þ общий член ряда при , следовательно, ряд расходится.

При x₂=5: при

Þ ряд расходится. Итак, областью сходимости заданного ряда является открытый интервал -1<x<5, или (рис.2.4.3).

Пример 3. Найти интервал сходимости ряда .

Þ согласно общему признаку Д’Аламбера ряд сходится абсолютно при любых значениях x; , R=¥.

Пример 4.

.