Элементов цепи

Во многих случаях приходится встречаться с расчётом сложных электрических цепей синусоидального тока, которые в общем случае являются цепями со смешанным соединением сопротивлений (рис. 2.1). Эти электрические цепи могут быть разделены на участки с последовательным и участки с параллельным соединением сопротивлений.

При параллельном соединении сопротивлений (участок 1 − 2, рис. 2.1) параллельные ветви электрической цепи находятся под одним и тем же напряжением U₁ = U₁₂, поэтому для каждой из этих ветвей определение всех расчётных величин производится по формулам, справедливым для отдельных сопротивлений электрических цепей с последовательным соединением сопротивлений. Для участка цепи с параллельным соединением сопротивлений ток на разветвлённом участке определяется в соответствии с I законом Кирхгофа, записанным для узла разветвления в векторной форме:

Этот ток можно определить графически с помощью векторной диаграммы как сумму составляющих векторов токов, а также с помощью комплексных чисел, так как комплексный ток ,

т. е. равен сумме комплексных составляющих токов.

Комплексы токов в отдельных ветвях электрической цепи могут быть определены через комплексные сопротивления или комплексные проводимости соответствующих ветвей:

где в общем случае

При этом ток в неразветвлённой части цепи равен произведению напряжения на параллельном участке цепи на сумму комплексных проводимостей параллельно включённых сопротивлений

Сопротивления отдельных ветвей могут носить активно-реактивный характер при наличии индуктивных X_L и ёмкостных Х_С сопротивлений, поэтому в общем случае комплексные проводимости могут быть определены через активные q и реактивные bпроводимости:

Модули полных проводимостей ветвей:

С учётом этого комплекс полной проводимости участка электрической цепи с параллельным соединением сопротивлений:

При этом активные и реактивные проводимости:

При смешанном соединении сопротивлений (см. рис. 2.1) электрическая цепь при расчёте приводится к виду рис. 2.2.

Полное сопротивление Z₁₂ участка цепи 1 – 2 может быть определено через её полную проводимость:

При этом расчёт электрической цепи со смешанным соединением сопротивлений сводится к расчёту простейшей электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений. Если при последовательном соединении сопротивлений векторная диаграмма строится, начиная с комплексного тока , который является общим для всех сопротивлений, то при параллельном и смешанном соединении сопротивлений векторную диаграмму строят, начиная с вектора напряжения на параллельном участке электрической цепи.

Литература. ГОСТ Р 52002 – 2003; [2] c. 67 − 87; [3] с. 66 – 93;

[4] с. 89 – 98, [5] с. 29 − 34.

Пример решения

Для последовательно − параллельной электрической цепи переменного тока (рис. 2.3, а,с. 21) определить токи I, I₁, I₂ на всех участках цепи, активную Р, реактивную Q и полную S мощности цепи. Построить векторную диаграмму напряжений и токов. Напряжение питания U = 127 В, активные и реактивные сопротивления цепи: R = 2 Ом; R₁ = 15 0м; R₂ = 10 Ом; X_L = 10 Ом, X_L₁ = 10 Ом; X_L₂ = 20 Ом; Х_С = 2 Ом; X_С1 = 20 Ом; Х_С2 = 30 Ом.

Решение. Полные сопротивления первой параллельной ветви

и второй параллельной ветви:

Активные проводимости первой и второй параллельных ветвей:

Суммарная активная проводимость параллельного участка цепи:

Реактивные проводимости первой и второй параллельных ветвей:

Общая реактивная проводимость параллельного участка цепи:

b₁₂ = b₁ + b₂ = − 0,0308 – 0,05 = − 0,081 См.

Полная проводимость параллельного участка цепи:

Полное сопротивление этого участка цепи:

Активное и реактивное сопротивления параллельного участка цепи:

Активное и реактивное сопротивления всей цепи:

R_Ц = R + R₁₂ = 2 + 6,1 = 8,1 Ом,

Х_Ц = X_L + (−X₁₂) + (−X_C) = 10 – 5,16 – 2 = 2,84 Ом.

Полное сопротивление всей цепи:

Ток в неразветвленной части цепи:

Напряжения на отдельных участках цепи:

Токи в первой и во второй параллельных ветвях:

Коэффициенты мощности всей цепи:

Коэффициент мощности участка 3 – 1 цепи:

откуда .

Коэффициент мощности участка 1 − 2 цепи:

для первого параллельного участка:

откуда

для второго параллельного участка:

откуда

для всего участка 1− 2 цепи:

Коэффициент мощности участка 2 – 4 цепи: ,

( ).

Активная мощность отдельных участков цепи:

Суммарная активная мощность всей цепи:

Реактивная мощность отдельных участков цепи:

Суммарная реактивная мощность всей цепи:

Векторная диаграмма для электрической цепи дана на рис. 2.3, б,с. 21.

Для построения векторной диаграммы составим уравнения по I и II законам Кирхгофа для схемы на рис. 2.3, а:

I з. К.: (1)

II з. К.: (2)

Выбираем масштабы токов и напряжений. На комплексной плоскости строим горизонтально по действительной оси вектор напряжения на параллельном участке электрической цепи. Векторы токов опережают вектор на , , т. к. в ветвях 1 – 2 преобладает активно-ёмкостной характер нагрузки. Согласно уравнению (1) общий ток равен векторной сумме токов и опережает вектор на Строим уравнение (2). Необходимо сложить три вектора напряжений К концу вектора под к вектору тока строим в масштабе напряжений вектор (опережает , т. к. нагрузка в ветви 3 – 1 имеет активно-индуктивный характер). Затем к концу вектора прибавляем вектор , перпендикулярный вектору тока (отстаёт от , т. к. нагрузка в ветви 2 – 4 ёмкостная). Соединив начало координат с концом вектора получим вектор напряжения согласно условию задачи. В результате вектор напряжения опережает вектор тока , т. к. согласно расчёту вся сложная цепь имеет активно-индуктивный характер, т. е. задача решена верно.

Контрольное задание

Задача № 3

Электрическая цепь переменного синусоидального тока с частотой

f = 50 Гц (рис. 2.4, с. 25), находящаяся под действием напряжения U, содержит активные R₁ − R₅ сопротивления, реактивные индуктивные Х_L₂, Х_L₃, X_L₆ и реактивные ёмкостные Х_C₁, Х_C₄, Х_C₇ сопротивления. По данным таблицы 2.1 (стр. 26 – 27) с учётом положения выключателей В₁− В₇ определить для данного варианта задания приведённые в ней величины. Проверить соблюдение баланса полных S, активных Р и реактивных Q мощностей, построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Дополнительное задание. Определить комплексные Y, активные q и реактивные b проводимости отдельных участков и всей электрической цепи.

Примечание. Для вариантов 31 – 60 величину сопротивления R₅ уменьшить в два раза.

Задача № 4

Используя данные, приведённые в таблице 2.2 (стр. 28) для электрической цепи переменного тока (рис. 2.5, с. 25) для каждого варианта задания, определить напряжение U, действующее на зажимах цепи, показание ваттметра W, ёмкость С₂ конденсатора при резонансе токов,

если на участке 1 – 2 электрической цепи амперметр А показывает ток

I = 6 A, а частота тока питающей цепи f = 50 Гц. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для всей электрической цепи.

Дополнительное задание. Определить активное R, реактивное Х и полное сопротивление Z и соответствующие проводимости q, b и Y, а также коэффициенты мощности cos φ, полную S, активную Р и реактивную Q мощности ветвей и всей электрической цепи переменного тока.

Примечание. Для вариантов 31 – 60 величину сопротивления R₁ увеличить в

два раза.

Рис. 2.4

Таблица 2.1

Величины Варианты контрольного задания

U, В - - - - -

U_I3, В/ I₃, А - 32/- - - 32/- - - - - -/ 5 - 32/- - - 32/-

R₁, Ом - - - - - -

R₂, Ом - - - - - - - -

R₃, Ом -

R₄, Ом - - -

R₅, Ом

X_L2, Ом - - - - - - - - -

X_L₃, Ом -

X_L₆, Ом - - - - - -

X_С1, Ом - - - - - -

X_С4, Ом - - -

X_С7, Ом - - - - -

Выключатели замкнуты В₁ В₂ В₁ В₁ В₂ В₁ В₂ В₁ В₁ В₂ В₁ В₂ В₁ В₁ В₂

В₄ В₃ В₃ В₄ В₃ В₃ В₃ В₃ В₄ В₃ В₄ В₃ В₃ В₄ В₃

В₅ В₅ В₄ В₅ В₅ В₅ В₅ В₅ В₅ В₄ В₅ В₅ В₄ В₅ В₅

В₇ В₆ В₅ В₇ В₆ В₆ В₇ В₆ В₇ В₅ В₇ В₆ В₅ В₇ В₆

В₃ В₇ В₆ В₃ В₄ В₇ В₄ В₇ В₆ В₆ В₃ В₄ В₇ В₃ В₄

Необходимо определить

I_р₄ I_а₁ Z₃

Р I_а₃ cos φ₁ Р₃ Р₄ Р

I_а₄ Р₄ Q cos z₃ I_р3 I_а₃ cos φ₄ Q₃ Р₅ Q

cos φ₁ cos φ₁ cos φ₁ Р₃ cos φ₄ S₂ cos φ₂ cos φ₁ S₂ cos φ₃

Величины Варианты контрольного задания

U, В - - - -

U_L₃, В/ I₃, А - - - - -/ 5 - 64/- - - -/ 5 - - - 32/- -

R₁, Ом - - - - - -

R₂, Ом - - - - - - - - -

R₃, Ом - -

R₄, Ом - - -

R₅, Ом

X_L2, Ом - - - - - - - - -

X_L₃, Ом - -

X_L6, Ом - - - -

X_С1, Ом - - - - - -

X_С4, Ом - - -

X_С7, Ом - - - - - - -

Выключатели замкнуты В₁ В₂ В₁ В₁ В₂ В₁ В₂ В₁ В₁ В₂ В₁ В₂ В₁ В₂ В₁

В₃ В₃ В₃ В₄ В₃ В₄ В₃ В₃ В₄ В₃ В₃ В₃ В₃ В₃ В₃

В₅ В₅ В₅ В₅ В₄ В₅ В₅ В₄ В₅ В₄ В₅ В₅ В₅ В₅ В₄

В₆ В₇ В₆ В₇ В₅ В₇ В₆ В₅ В₇ В₅ В₆ В₇ В₆ В₆ В₅

В₄ В₆ В₇ В₃ В₇ В₆ В₄ В₇ В₆ В₇ В₄ В₆ В₄ В₄ В₆

Необходимо определить

I_а₃ I_а₃ Q₃ I_а₄ I_а₂ Р₃ I_а₃

Р₃ I_р₃ Р₁ Р₃ Р₃ Р₄ I_р₂ S Р₂ Q₄ I_р₃ Р₃ S₁

S S₂ S Q₄ Q₄ Q Q₂ S₂ S₁ S₂ S₃ Р₃ sin φ₃

I_а₁ cos φ₂ cos φ₁ cos φ S S cos φ₃ cos φ₃ cos φ₄ S cos φ₁ cos φ₃ cos φ₃

Таблица 2.2

Варианты Варианты контрольного задания Варианты Варианты контрольного задания

Величины, Ом Величины, Ом

R₁ R₂ X_L1 X_L2 X_С₁ R₁ R₂ X_L1 X_L2 X_С₁

1,5 1.5 А

1,5 2,5

й

5 '

Раздел 3. Трёхфазные трёхпроводные и четырехпроводные