III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

І. Аналіз контрольної роботи №1.

II. Повторення відомостей про квадратний корінь.

Повторити відомості про квадратний корінь можна у вигляді фронтальної бесіди з використанням таблиці 13.

Питання до класу

1. Що називається квадратним коренем з числа?

2. Чому дорівнює квадратний корінь з чисел:

а) 25; б)16; в) 100; г) 0; д) -10?

3. Чому квадратний корінь з від'ємного числа не існує?

4. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа а?

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

Коренем п-го степеня із дійсного числа а називається число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад: корінь третього степеня із числа 8 дорівнює 2, бо 2³ = 8. Корінь четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, бо 3⁴ = 81, (-3)⁴ = 81.

Згідно даного означення, корінь п-го степеня — це корінь рівняння хⁿ = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а.

Якщо п – парне, тобто п = 2k, k N, то рівняння х^2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

Якщо п – непарне, тобто п = 2k + 1, k N, то рівняння х^2k+1 = а завжди має лише один корінь.

Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п-го степеня із числа а позначають так:. Число n називають показником кореня, число а – підкореневим числом (виразом).

Якщо п = 2, то замість пишуть і називають арифметичним квадратним коренем.

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.

У тих випадках, коли зрозуміло, що мова йде про арифметичний корінь n-го степеня, коротко говорять «корінь п-го степеня».

Приклад. Знайдемо значення:

а) ; б) ; в) ; г) .

а) = 2, оскільки 2³ = 8 і 2 > 0;

б) = 3, оскільки 3⁴ = 81 і 3 > 0;

в) = 1, оскільки 1⁵ = 1 і 1 > 0;

г) = 0 , оскільки 0¹⁰⁰ = 0.

Приклад. Знайдемо значення:

а) ; б) ; в) .

a) = - = -2; б) = - = -2 ; в) = - = -3 .

Отже, вираз має зміст для будь-якого а Rі може набувати будь-яких значень.

1. Якщо існує, то ( )n = а . 2. 3.

Ми згадали властивості квадратного кореня. Аналогічні властивості мають і корені n-го степеня.

Властивість 1. Для невід'ємних чисел а і b добуток коренів n-го степеня із чисел a і b дорівнює кореню n-го степеня із їх добутку: · = .

Властивість 2. Для невід'ємного числа а і додатного числа b частка коренів n-го степеня із чисел а і b. дорівнює кореню n-го степеня із їх частки: .

Властивість 3. Будь-який цілий степінь k кореня n-го степеня із невід'ємного числа а дорівнює кореню n-го степеня із степеня k числа а: .

Властивість 4. Щоб добути корінь із кореня із невід'ємного числа можна перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін: .

Властивість 5. Значення кореня із степеня невід'ємного числа не зміниться, якщо показник кореня і показник підкореневого виразу помножити (або поділити) на одне і те саме натуральне число: .

Виконання вправ

1. Знайдіть значення виразів:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Відповідь: а) 1,5; б) 1,2; в) 0,5; г) 2,5; д) .

2. Обчисліть:

а) · ; б) · ; в) ; г) .

Відповідь: а) 10; б) 6; в) 3; г) 2.

3. Знайдіть корінь із степеня:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 125; б) 0,09; в) 0,72; г) 16.

4. Спростіть вирази:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) = ; б) ; в) ; г) .

Вивчені властивості коренів дають змогу виконувати пере­творення коренів.