Теорема. Пусть функции u и υ определены и дифференцируемы на некотором промежутке и функция υdu имеет на этом промежутке первообразную. Тогда функция u·dυ также имеет первообразную на данном промежутке, причем справедлива формула
.
Доказательство. Найдем дифференциал от произведения u · υ.
d(uυ) = du·υ + u·dυ.
Проинтегрируем обе части этого равенства.
òd(uυ) = ò(du·υ + u·d υ).
uυ = ò υdu + ò udυ,
ò udυ = uυ - ò υdu - формула интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям применяется при нахождении интегралов следующих видов:
1)
, где P(x) - многочлен, его выбирают в качестве u.
2)
В качестве u выбирают трансцендентную функцию.
3) Циклические интегралы – те, в которых подынтегральная функция представляется в виде произведения двух функций, мало меняющихся при интегрировании и дифференцировании.
Пример 1.
Пример 2.
.
