Свойства неопределенного интеграла.

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Док-во. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x), тогда

ò f(x)dx = F(x) + c. Найдем производную и дифференциал от обеих частей равенства.

(ò f(x)dx)' = (F(x) + c)' = f(x),

d(ò f(x)dx) = (ò f(x)dx)' dx = f(x)dx.

2.Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: ò d F(x) = F(x) + C.

Док-во. ò d F(x) = ò F'(x)dx= ò f(x)d x = F(x) + C.

Из свойств 1 и 2 следует, что операции дифференцирования и интегрированияявляются взаимнообратными.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

ò k f(x)dx = k ò f(x)dx.

Док-во. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x).

ò f(x)dx = F(x) + C. Умножим обе части на k .

k ò f(x)dx = k F(x) + C₁, где C₁ = k C_.

Найдем производную функции kF(x).

(k F(x))' = k f(x).

Функция k F(x) является первообразной функции k f(x). Следовательно,

ò k f(x)dx = k F(x) + C,

ò k f(x)dx = k ò f(x)dx.

4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Доказать самостоятельно.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. n ¹ -1; n ¹ -1;

2. = ln½x½ + с, = ln½u½ + с;

3.

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. .

Эти формулы легко доказываются дифференцированием правой части.

Интегралы принято называть табличными.

Теорема1. Пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция у = f (x) имеет первообразную F(x) на множестве Х, то - первообразная для f(φ(t))φ'(t) на Т, т.е. ò f(x)dx = ò f(φ(t)) dφ(t)= ò f(φ(t))φ'(t)dt.

Док-во. Пусть x = φ (t) - некоторая непрерывная функция. По условию

ò f(x) dx = F(x) + С. Это левая часть формулы. Рассмотрим теперь, чему равна правая. (F(x))' = (F(φ(t)))' = правило диф. сложной ф-и = f(φ(t)) φ'(t),

Это значит, что F(x) является первообразной для функции f(φ(t)) φ'(t) , т.е.

ò f(φ(t)) φ'(t)dt =F(x) + С. Очевидно, что обе части формулы равны.

Из теоремы следует, что в любом табличном интеграле можно заменить аргумент дифференцируемой функцией.