Интегральное исчисление.

§1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

Пусть f(x) – непрерывна на некотором множестве Х.

Опр. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если ее производная равна исходной функции: .

Например, функция является первообразной для функции , т.к. . Заметим, что функция также является первообразной для этой же функции. И вообще, любая функция вида +С (где С – любое число) является первообразной для данной функции .

Теорема. Если и - первообразные для функции , то найдется такое число С, что = +С.

Док-во. . Тогда =const =С.▲

Таким образом, у всякой непрерывной функции существует бесконечно много первообразных, отличающихся на некоторое число.

Опр. Совокупность первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается . Таким образом,

,

где - некоторая первообразная данной функции f(x), С – произвольная постоянная.

f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, процесс нахождения НИ – интегрированием или взятием интеграла.

Геометрический смысл первообразной.

Пусть и - первообразные для функции .

Т.к. и , то касательные к графикам функций и параллельны в любой точке . Таким образом, графики первообразных представляют собой бесконечное семейство параллельных кривых, заполняющих всю плоскость, графики которых можно получить сдвигом на С единиц по оси Оу. Через каждую точку плоскости проходит график одной из первообразных.