ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Первообразная функция

Определение: Функция называется первообразной функциейдля функции на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Например,

для первообразная , так как

для первообразная , так как .

Теорема. Каждая функция, непрерывная на промежутке, имеет множество первообразных. Они отличаются друг от друга на некоторое постоянное число:

Геометрически, в системе координат хОу, графики всех первообразных функций от данной функции представляют семейство кривых, зависящее от одного параметра С, которые получаются одна из другой путем параллельного сдвина вдоль Оу

2. Неопределенный интеграл

Определение: Неопределенным интеграломфункции называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

Записывают: , (1)

где - первообразная функции на промежутке Х; знак называется интегралом.

Приняты следующие термины:

- подынтегральная функция;

- подынтегральное выражение;

- переменная интегрирования;

- постоянная интегрирования.

Наличие в этой формуле произвольной постоянной величины объясняет, почему интеграл называется неопределенным.

Равенство (1) дает самый общий вид первообразной функции.

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Основная теорема интегрального исчисления. Если функция непрерывна в каждой точке отрезка [a, b], то во всех точках этого отрезка она имеет первообразную, которая на этом отрезке также непрерывна.

Основная задача интегрального исчисления заключается в следующем: для функции найти функцию такую, что . Процесс нахождения первообразной функции для заданной функции (или, что то же, восстановление функции по ее производной) называется интегрированием. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Для проверки, правильно ли найден интеграл, полученный результат дифференцируют (должны получить подынтегральную функцию).

Пример: , так как

3. Свойства неопределенного интеграла

Непосредственно из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

т. е. знак дифференциала d и знак интеграла , когда первый помещен перед вторым, взаимно погашаются (иногда говорят: взаимно сокращаются или взаимно уничтожаются).

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть

т. е. знаки d и , взаимно погашаются также и тогда, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но в этом случае к нужно прибавить произвольную постоянную.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, то есть

где – некоторые функции от .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где - постоянный множитель (константа)

6. свойство инвариантности: Вид формулы интегрирования не изменяется (остается инвариантным), если независимый аргумент заменить дифференцируемой функцией :

Примеры

Используя правило интегрирования алгебраической суммы (свойство 4), получим:

Для суммы интегралов пишут лишь одну постоянную интегрирования.

2. Для того, чтобы применить свойство инвариантности, нужно так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы оно приняло вид подынтегрального выражения известного интеграла. Например:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства, выражения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

4. Таблица основных интегралов

Во всех формулах под и понимается или независимая переменная, или произвольная функция любой независимой переменной, дифференцируемая в некотором промежутке.

Каждая из формул этой таблицы справедлива в любом промежутке, содержащемся в области определения соответствующей подынтегральной функции.

Интегралы, помещенные в таблице, называют табличными.

5. Методы интегрирования

5.1 Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

1. Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

2. Вычислить интеграл .

Для вычисления интеграла следует разделить многочлен, стоящий в числителе, на знаменатель. Если это выполнить, то получится, что

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

5.2 Метод подведения под знак дифференциала

Этот метод применяется для вычисления интегралов вида:

Воспользуемся тем, что . И перепишем интеграл в виде:

. (2)

При этом говорят, что мы подвели функцию под знак дифференциала.

Отметим, что при подведении функции под знак дифференциала прежде всего используется определение дифференциала:

или

и два его свойства:

и .

Рассмотрим, как подвести под знак дифференциала некоторые функции:

1) ,

Оговорка существенна, так как если , то , и тогда в правой части формулы знаменатель равен нулю. Когда , следует пользоваться формулой (4) Таблицы интегралов: .

6) .

Список таких формул можно продолжить. Важно понять, как они получаются.

Алгоритм применения метода подведения под знак дифференциала:

Все примеры этого параграфа решаются с помощью формулы (2):

Прежде, чем применить ее, надо выяснить: 1) какую из функций, стоящих под интегралом, следует принять равной и 2) есть ли под интегралом множитель, равный .

Примеры: вычислить интегралы.

В этом примере подынтегральная функция равна . Примем, что . Тогда .Перепишем подынтегральную функцию в виде , отчего ее значение не изменится. При интегрировании постоянный множитель вынесем за знак интеграла и применим формулу (2) и табличный интеграл (3):

2) .

Примем, что . Тогда . Поэтому:

3) .

Примем, что . Тогда .Воспользуемся правилом подведения под знак дифференциала:

Тогда:

4) .

Примем, что . Тогда . Значит, недостает множителя . Поэтому подынтегральную функцию представим в виде:

Тогда:

5) .

Примем, что . Тогда .

5.3 Метод замены переменных (способ подстановки)

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема.Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве Х функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По свойству неопределенного интеграла: ,

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Укажем два правила подстановки.

I правило подстановки основано на применении формулы

Здесь функция заменяется новой переменной .

Этот метод подробно рассмотрен как метод подведения под знак дифференциала в предыдущем параграфе.

II правило подстановки основано на применении формулы

Здесь, в отличие от предыдущего правила, сама независимая переменная заменяется новой функцией. То есть осуществляется операция «вывода функции из-под знака дифференциала».

Алгоритмего применения:

1) Независимую переменную заменяют удачно подобранной функцией по формуле:

. (3)

где — дифференцируемая функция.

Заметим, что функция в (3)должна иметь обратную. Это необходимо для того, чтобы из подстановки (3)можно было определить как функцию .

2) После этого определяют , а интеграл приводят к виду . Цель подстановки будет достигнута, если окажется, что вычисление этого интеграла проще, чем исходного.

3) Вычисляют получившийся интеграл. В результате интегрирования получится функция независимой переменной .

4) Результат выражают через первоначальную переменную . Чтобы возвратиться к переменной , надо из уравнения (3) определить через и подставить это значение вместо в найденную функцию.

Общего правила, которое указывало бы, как выбрать функцию в (3), не существует. Умение выбрать эту функцию достигается опытом. Однако для многих типов интегралов подстановка (3) известна.

Укажем некоторые рекомендации по выбору новой переменной:

а)если подынтегральная функция содержит , то бывает полезна тригонометрическая подстановка . При этом:

;

б)если подынтегральная функция содержит , то полезна замена . При этом:

.

в)если подынтегральная функция содержит , то полезна замена . При этом:

.

г)если подынтегральная функция содержит , то полезна замена . Такая подстановка позволяет рационализировать функцию (свести к рациональной).

.

Тогда

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Примеры: вычислить интегралы.

Вернемся к исходной переменной. Для этого выразим и через .

Поскольку ,

то и ,

откуда .

Таким образом,

Выразим интеграл через исходную переменную, учитывая, что . Удобно воспользоваться прямоугольным треугольником с острым углом , противолежащим катетом и прилежащим катетом, равным (см. рис)

Из рисунка, гипотенуза данного треугольника равна , а . Тогда искомый интеграл равен:

5.4 Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций:

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: .

Проинтегрировав, получаем: ,

а в соответствии со свойствами неопределенного интеграла:

или .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.В качестве функции u(x) принимается функция, которая дифференцированием упрощается, или трансцендентные функции lnx, arctg x, arcsin x. А именно:

1) Интегралы вида , , ,

где – многочлен, вычисляются интегрированием по частям, причем следует взять , а оставшееся выражение взять за .

2) Интегралы вида , , ,

где - многочлен, также вычисляются интегрированием по частям, но здесь за следует взять , , , а оставшееся выражение взять за .

Примеры: вычислить интегралы.

Применим формулу интегрирования по частям:

Таким образом, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Примеры на различные основные методы интегрирования.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

.

7)

8)

9)

10)

6. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы следующих типов:

1) , где или

2) , где или

3) ,

4) , где ,

Квадратный трехчлен в этих интегралах не имеет действительных корней.

Общие рекомендации по вычислению интегралов приведенных типов:

В интеграле выделить из квадратного трехчлена полный квадрат.

В интеграле в числителе выделить производную квадратного трехчлена знаменателя.

В интеграле вынести из-под корня .

В интеграле в числителе выделить производную квадратного трехчлена знаменателя и воспользоваться рекуррентной формулой:

где ; .

Поясним эти рекомендации на примерах.

Примеры.

Данный интеграл – интеграл первого типа при . Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:

Применим табличный интеграл .

Данный интеграл – также интеграл первого типа при . Эта задача отличается от предыдущей тем, что коэффициент, стоящий при в знаменателе, не равен единице. Для того, чтобы свести этот случай к предыдущему, этот коэффициент вынесем за скобку и затем выделим полный квадрат:

Данный интеграл – интеграл первого типа при . Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:

Применим табличный интеграл

Данный интеграл – интеграл второго типа при .

Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла. Выделим в числителе из производную квадратного трехчлена, равную , так, чтобы величина числителя при этом не изменилась:

Поэтому

Преобразуем получившийся интеграл в разность двух интегралов. Во втором интеграле в знаменателе выделим полный квадрат:

Замечание: Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как его корни комплексные, коэффициент при положителен, а, значит, при любом этот трехчлен положителен.

Данный интеграл – интеграл третьего типа. Вынесем из-под корня:

Преобразуем знаменатель:

Проведем операцию внесения под знак дифференциала:

Используя проведенные преобразования и табличный интеграл:

получим:

6) Рассмотрим пример на применение рекуррентной формулы.

Разобьем интеграл на два интеграла. К первому применим метод подведения под знак дифференциала, ко второму – рекуррентную формулу , положив в ней , и

7. Интегрирование рациональных функций

7.1 Интегрирование рациональных дробей

Дробь

называется рациональной, если ее числитель и знаменатель — многочлены (предполагается, что коэффициенты многочленов действительные числа).

Дробь называется правильной, если степень многочлена , находящегося в числителе, меньше, чем степень многочлена , находящегося в знаменателе.

Если же степень числителя равна степени знаменателя или больше ее, то рациональная дробь называется неправильной.

Из неправильной рациональной дроби всегда можно выделить целую часть (многочлен). Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочленов. Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поэтому интегрирование рациональной дроби всегда может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной дроби.

Перечислим этапы интегрирования рациональных дробей:

1) если дробь неправильная, то выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь.

2) знаменатель дроби разложить на линейные множители (содержащие действительные корни многочлена) и квадратичные множители (содержащие комплексные корни многочлена) с действительными коэффициентами. Любой многочлен с действительными коэффициентами, согласно основной теореме алгебры, может быть представлен в таком виде:

P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b…(x²+ px + q)^l…(x²+ rx + s)^m

где a…m - кратность корней (показывает, сколько раз тот или иной множитель входит в приведенное разложение многочлена на множители).

Примечание: квадратичные множители, входящие в эту формулу, не имеют действительных корней и на множители первой степени с действительными коэффициентами не разлагаются.

3)правильную рациональную дробь разложить ее на элементарные (простейшие) дроби, согласно приведенной ниже теореме.

Теорема(о разложении рациональной дроби на простейшие): Если - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей, то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины. В эту схему для каждого множителя в разложении знаменателя вписывается столько элементарных слагаемых дробей, какова его кратность (a, b, l, m, …)

Знаменателями элементарных дробей являются все целые степени каждого множителя в разложении , начиная с первой степени и заканчивая той степенью, которую множитель имеет в разложении .

Числителями элементарных дробей служат либо постоянные , , либо линейные функции , …, смотря по тому, является ли знаменатель дроби некоторой степенью линейной или квадратичной функции.

4)найти неопределенные (неизвестные пока) коэффициенты A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i.

5)подставить найденные значения коэффициентов в схему разложения инайти интегралы от целой части и простейших дробей.

Рассмотрим два наиболее распространенных способа определения коэффициентов, стоящих в числителях тех простейших дробей, на которые разлагается данная рациональная дробь. Это метод неопределенных коэффициентов и способ задания частных значений.

Пример: Разложить на простейшие дроби рациональную двумя способами.

Данная дробь – правильная. Общий вид ее разложения будет таким:

Умножим обе части этого равенства на знаменатель левой части:

(*)

Найдем неопределенные коэффициенты A_i

1 способ(наиболее общий):

Применим метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем: для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях .

В правой части (*) произведем умножение двучленов и получим:

Это равенство можно переписать иначе, расположив многочлен в правой части по убывающим степеням :

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему четырех уравнений первой степени с четырьмя неизвестными:

Решив эту систему, получим:

, , , .

2 способ (способ задания частных значений):

Так как равенство (*) — тождество, то оно сохраняется при любом значении .

Будем давать такие значения, чтобы в правой части все члены, кроме одного, обращались в нуль. Очевидно, такими «выгодными» значениями являются корни знаменателя, т. е. значения , , и .

При в правой части (*) все слагаемые, кроме первого, обратятся в нуль, левая часть равенства при будет равна , и мы получим:

или , откуда .

При левая часть равна , а в правой части (*) все слагаемые, кроме второго, будут равны нулю:

или , откуда

При в правой части (*) все слагаемые, кроме третьего, равны нулю:

или , откуда .

При в правой части (*) все слагаемые, кроме четвертого, обратятся в нуль, и мы будем иметь:

или , откуда .

Итак, заданная дробь может быть представлена суммой простейших дробей вида:

Заметим, что каким бы способом ни вычислялись неизвестные коэффициенты, мы всегда получим для них одни и те же значения, так как разложение рациональной дроби на простейшие может быть осуществлено единственным образом.

Укажем, что второй способ, способ задания частных значений , для определения неизвестных коэффициентов особенно удобен в том случае, когда знаменатель дроби содержит только действительные множители первой степени, среди которых нет равных.

В других случаях способ задания частных значений также дает сокращение вычислений, так как позволяет избежать решения системы уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных.

Пример.

Дробь правильная. Разобьем на множители знаменатель дроби. Т.к. ( , то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем:

Решив полученную систему, найдем значения неизвестных:

или методом Гаусса:

Итак, , , и .

Таким образом, вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы интегралов вида:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

Таким образом,

3x³ – 4x² – 17x + 6 = (x – 3)(3x² + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1).

Поэтому дробь разбивается на элементарные дроби вида:

Найдем неопределенные коэффициенты методом задания частных значений. В качестве произвольных значений примем точки 3, –2, 1/3 (напомним, что при этих значениях знаменатель дроби равен нулю). Получаем:

Окончательно получаем:

Пример.

Приравняв числители левой и правой части, найдем неопределенные коэффициенты:

Сгруппируем слагаемые:

Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях х, получим систему:

решение которой дает значения: , , , и

Тогда значение заданного интеграла:

7.2 Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Значительное количество интегралов от тригонометрических функций найти аналитически нельзя. Вместе с тем, есть функции, которые могут быть проинтегрированы аналитически. Выделим несколько случаев.

1.Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Примеры.