Метод подстановки (замены переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом исходный интеграл приводится к новому интегралу, который является либо табличным, либо сводящимся к нему.

Если требуется найти интеграл и отыскание первообразной при этом вызывает затруднение, то часто оказывается удобным произвести замену переменной интегрирования, полагая x = j(t) и dx = j¢(t)dt в результате получим:

Примеры. Найти неопределенный интеграл:

1. .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

2.

Замена Получаем:

Интегрирование по частям.

Примеры.

1.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

2.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Примеры