Основные понятия PrL

Язык логики предикатов (PrL)

Символы языка PrL

Логические символы:

· Переменные x, y, z, … , x₀, y₀, z₀, …

· Логические связки Ù, Ú, Ø, ®, «

· , ()

· Кванторы $ и "

Специальные символы:

· Предикатные символы P, Q, R, … , P₀, Q₀, R₀, …

· Константы a, b, c, … , a₀, b₀, c₀, …

· Функциональные символы f, g, h, … , f₀, g₀, h₀, …

Основные понятия PrL

Предикат P(x,y,a,b,f(x,y,c))

· Степень предиката – число аргументов

· Аргументы – переменные (могут принимать значения на некотором множестве объектов), константы, функциональные символы (функциональный символ олицетворяет некоторый объект, связанный с аргументами)

· Смысл предиката – выражает свойство некоторого объекта или связь между аргументами

Пример. Пусть S – высказывание: «Если Джордж человек, то Джордж смертен»

· В логике высказываний S: A ® B

· В логике предикатов P: Человек(Джордж) ® Смертен(Джордж)

Обобщение формулы. Пусть x – переменная, принимающая значение на множестве людей.

· P: Человек(x) ® Смертен(x)

Использование кванторов $ и " - для обозначения всеобщей или частичной истинности формулы.

· P: ("x)(Человек(x) ® Смертен(x)) – всеобщая истинность

· P: ($x)(Человек(x) ® Смертен(x)) – частичная истинность

Двойственность кванторов $ и ":

" « Ø$Ø или $ « Ø"Ø | ("x)(Q(x)) « Ø($x)(ØQ(x))

Терм – это

· Константа

· Переменная

· Функциональный символ f(t₁, … , t_n), где t_i – терм

Атом (элементарная формула) – это выражение вида

P(t₁, … , t_n), где t_i – терм, P – предикатный символ

Формула – это

· Атом

· Если s и t — формулы, то выражения (sÙt), (sÚt), (s®t), (s«t), (Øt) – также являются формулами

· Если x – переменная, s - формула, то формулами являются выражения вида

(($x)s), (("x)s)

· Других формул нет