Содержание типового расчета

Типовой расчет содержит две задачи. В каждой задаче задана пространственная область G, ограниченная поверхностями, указанными в условии задачи. Г(x,y,z) – объемная плотность области G. Для этой области найти:
1. V – объем;
2. m – массу;
3. M_yz, ­ M_xz, ­ M_xy – статические моменты относительно плоскостей Оyz, Oxz и Охy соответственно;
4. x_c, ­ y_c, ­ z_c – координаты центра масс;
5. I_z – момент инерции относительно оси Oz.

Порядок выполнения типового расчета

При решении каждой задачи необходимо:
1. Выполнить чертеж заданной области. Выбрать систему координат, в которой будут вычисляться тройные интегралы.
2. Записать область в виде системы неравенств в выбранной системе координат.
3. Вычислить объем V и массу m тела по формулам (1) и (2).
4. Вычислить статические моменты M_yz, ­ M_xz, ­ M_xy по формулам (3) – (5).
5. Вычислить координаты центра масс x_c, ­ y_c, ­ z_c по формулам (7). Нанести центр масс на чертеж. При этом возникает визуальный (качественный) контроль полученных результатов.
6. Вычислить I_z – момент инерции относительно оси Oz.
Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.

Пример выполнения типового расчета

Задача. Пространственная область G, ограничена поверхностями z = 4 – x² – y², ­ z = 0, ­ y = 0 (y ≥ 0). Объемная плотность области G равна γ(x, y, z) = 3 .
Решение. Тело ограничено поверхностью параболоида и двумя координатными плоскостями. Проекцией тела на плоскость Oxy является полукруг (рис. 1). Поэтому при вычислениях удобно использовать цилиндрическую систему координат. В этой системе уравнение параболоида запишется: z = 4 – x² – y² <=> z = 4 – ρ² и тело Gможно записать системой неравенств:
G:

Рис. 1

Объем тела найдем по формуле (1):


Найдем массу тела по формуле (2). Плотность его равна γ = 3 = 3ρ.



Для нахождения координат центра масс вычислим сначала статические моменты тела относительно координатных плоскостей по формулам (3) – (5):







Внутренний и промежуточный интегралы здесь совпадают с соответствующими интегралами в выражении дляM_xz, поэтому переходим сразу к заключительному этапу вычисления.

Координаты центра масс найдем по формулам (6) – (7):
­ ­ ­ ­ ­ ­
Момент инерции тела относительно оси Oz найдем по формуле (8):
J_z


Ответ: V = 4π ≈ 12,57; M_xz = 32; M_yz = 0; x_c = 0; y_c = z_c = J_z =