Теоретическое введение

Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 806; Нарушение авторских прав

Приложения тройных интегралов

Рассмотрим приложения тройного интеграла к решению ряда геометрических задач и задач механики.

4.1.1 Вычисление площади и массы пространственного тела

Пусть в трехмерном пространстве Oxyz дано материальное тело G.
Объем V этого тела может быть найден с помощью тройного интеграла по формуле:

V = dV (1)

Вычислим массу m тела объема V, считая, что плотность в каждой точке тела есть заданная непрерывная функция координат точки P, т.е. γ = γ(x;y;z).
Пусть в каждой точке тела G задана его объемная плотность γ = γ(x;y;z). Будем считать, что функция γ = γ(x;y;z) непрерывна в области G. Тогда масса m этого тела равна тройному интегралу от функции плотности γ = γ(x;y;z) по области G:

m = γ(x, y, z) dV (2)

4.1.2 Статические моменты. Центр масс пространственного тела

Статическим моментом M_xy материальной точки массы m относительно плоскости Оху называется произведение массы точки на ее координату z: M_xy = mz. Аналогично определяются статические моменты M_yz иM_xz соответственно относительно плоскостей Oyz и Oxz: M_yz = mx, M_xz = my.
Статические моменты пространственного тела, плотность которого равна γ(x,y,z), где γ(x,y,z) – непрерывная функция, относительно плоскости Оху вычисляется по формуле:

M_xy = zγ(x, y, z) dV (3)

Аналогично, для статических моментов тела G относительно плоскостей Oyz и Oxz получим:

M_yz = xγ(x, y, z) dV (4)

M_xz = yγ(x, y, z) dV (5)

Координаты x_c , y_c , z_c центра масс тела G определяются равенствами:

(6)

где m – масса тела G, которую можно найти по формуле (2). Тогда из формул (3) – (6) получим:

(7)

4.1.3 Момент инерции пространственного тела

Момент инерции I_z материальной точки массы m относительно оси Oz равен произведению массы этой точки на квадрат её расстояния до оси Oz. Так как квадрат расстояния точки P(x, y, z) до оси Oz равен x² + y², то I_z = (x² + y²) · m. Аналогично определяют моменты инерции относительно осей Ох и Оу.
Пусть дано тело G, плотность которого задана непрерывной функцией γ(x, y, z). Момент инерции этого тела относительно оси Oz может быть найден по формуле:

J_z = (x² + y²) γ(x, y, z) dV (8)

Аналогично находятся моменты инерции J_x и J_y :

J_x = (y² + z²) γ(x, y, z) dV, J_y = (x² + y²) γ(x, y, z) dV (9)

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Применение трансформаторов.	\|	Содержание типового расчета