Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции.

Известные элементарные частицы электрон (–), протон (+) и нейтрон (не несет заряда) являются основой атомов всех веществ и, таким образом, органически входят в состав всех тел. Обычно за­ряды разных знаков входят в тела в равных количествах, и тело бу­дет заряжено нейтрально. Если каким-либо способом создать избы­ток одного из зарядов, то тело окажется заряженным зарядом соот­ветствующего знака. Перераспределение зарядов по объему тела (например, через влияние) также позволяет сделать тело заряженным. Заряды могут попарно исчезать и образовываться (как например, при образовании пар), однако суммарный заряд электрическиизолированной системы не может изменяться. Это утверждение носит название закона сохраненияэлектрического заряда. Математически выражение закона:

Электриче­ски изолированной называется такая система, если через ограничи­вающую ее поверхность не могут проникать заряженные частицы. В системе СИ электрический заряд измеряют в кулонах (Кл). Вели­чина элементарного электрического заряда равна 1,6·10^-19 Кл. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до дру­гих заряженных тел.

Сила, с которой взаимодействуют точечные заряды, подчиняется закону Кулона.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропор­циональна величине этих зарядов Q_i и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Сила F- величина векторная; r- радиус-вектор, проведенный от одного заряда к другому и имею­щий направление к тому заряду, к которому приложена сила (рис.70).

Рис. 70

Кулоновская сила является центральной силой. Сила, зави­сящая от расстояния между взаимодействующими телами и направленная по прямой, соединяющей их центры масс называется центральной. Сила, действующая на заряд Q₂ со стороны заряда Q₁ равна силе, действующей на заряд Q₁ со стороны заряда Q₂ и противо­положна ей по направлению.

Входящие в формулу величины:

[Ф/м] – электрическая постоянная,

ε – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия в данной среде ниже, чем в вакууме (величина безразмерная).

При исследовании взаимодействия возникает вопрос, почему появляются силы и как они передаются от одного заряда к другому?

Существовало два объяснения, как ответ на поставленные вопросы:

1. Телам присуще свойство действовать на другие тела на расстоянии без участия промежуточных тел или среды, т.е. через пустоту и притом мгновенно (теория дальнодействия). С этой точки зрения при наличии только одного заряда никаких изменений в окружающем пространстве не проис­ходит.

2. Силовые взаимодействия между телами могут переда­ваться только при наличии какой-либо среды, окружающей эти тела последовательно от одной части среды к другой, и с конечной скоростью (теория близкодействия). Даже при на­личии одного единственного заряда в окружающем про­странстве происходят определенные изменения.

Современная материалистическая физика основывается только на теории близкодействия. Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено действию других тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, то говорят, что тело находится в поле сил. Когда в каком-либо месте появляется заряд, то вокруг этого заряда возникает электрическое поле. Основное свойство этого поля проявляется в том, что на всякий другой заряд, помещенный в поле действует сила. Электрическое поле ха­рактеризует электрическое действие зарядов, магнитное поле - магнитное взаимодействие движущихся зарядов (токов). Электрическое и магнитное поля могут превращаться друг в друга и каждое из них является частным случаем более общего электромагнитного поля.

Поле обладает энергией, импульсом, массой, т.е. является материальной субстанцией. Количественными характеристиками электрического поля слу­жат напряженность и потенциал. Пусть поле создано точечным зарядом Q. На пробный заряд Q₀ будет действовать сила, различная в разных точ­ках поля, и она будет зависеть от величины пробного заряда Q₀

Если же взять отношение F/Q₀, то оно уже не будет зави­сеть от величины пробного заряда, а будет характеризовать элек­трическое поле в той точке, где находится заряд

Напряженность электрического поля – это физическая вели­чина, численно равная силе, действующую на помещенный в дан­ную точку единичный положительный заряд и направленная в сто­рону действия силы.

Напряженность в векторном виде запишется

[В/м].

Направление вектора Eвыбирается по направлению действия силы. Напряженность электрического поля от нескольких точечных зарядов есть векторная сумма напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами:

Силовой линией электрического поля называют линию, для которой направление касательной к ней в любой точке совпадает с направлением вектора напряженности поля.

При наложении (суперпозиции) нескольких электрических полей расчет напряженности суммарного электрического поля про­изводится по следующей схеме. Пусть Е₁ - напряженность поля в точке А, создаваемая зарядом Q₁ (когда заряда Q₂ вовсе нет, т.е. в отсутствие вблизи точки А других зарядов), а Е₂ – напряженность поля заряда Q₂ (когда заряда Q₁ нет). Опыт показывает что напря­женность Е результирующего поля (при наличии обоих зарядов) может быть найдена по правилу сложения векторов. Или иначе, на­пряженность результирующего электрического поля есть векторная сумма напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами (рис. 72).

Правило векторного сложения напряжённостей электрических полей спра­ведливо для произвольного количества зарядов. Из принципа независимости действия сил, модуль напря­женности результирующего поля, создаваемого двумя зарядами, определяется по теореме косинусов

Е² = Е₁² + Е₂² + 2Е₁Е₂ cos α,

где α – угол между векторами Е₁ и Е₂.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потен­циал

Теперь известно, что на заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила. Следовательно, перемещение заряда в элек­трическом поле будет сопровождаться работой

dA = Fdl

dA > 0 в случае, если работа совершается силами поля;

dA < 0 в случае, если работа совершается внешними силами против сил поля.

Рассмотрим перемещение пробного заряда Q₀ из точки 1 в точку 2 в поле сил, создаваемых зарядом Q.

Поле сил – центральное (рис. 73). Работа на пути dl будет равна.

Отсюда работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2

Если работа совершается внешними силами, то

Электростатическое поле является потенциальным. Это значит, что работа по перемещению заряда не зависит от пути, по которому перемещается заряд, а зависит только от начального и конечного положения заряда.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает по­тенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, полученное выражение для работы можно представить как разность потенциальных энергий заряда Q₀ в поле сил, созданном зарядом Q

Таким образом, потенциальная энергия в каждой точке поля зависит от величины пробного заряда Q₀. Но если взять отношение W/Q₀, то оно будет зависеть только от точки поля, и не будет зависеть от величины помещенного в эту точку за­ряда. Отношение называют потенциалом поля.

Потенциалом поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии, которую приобретает положи­тельный заряд Q₀, если его переместить из в данную точку поля, к величине этого заряда.

.

Из равенства А₁₂ = -А₂₁ следует другое определение.

Потенциалом поля называется физическая величина, чис­ленно равная работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом, при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

Потенциал – величина скалярная. При суперпозиции (нало­жении) электрических полей потенциал суммарного электрического поля определяется как алгебраическая сумма потенциалов налагае­мых полей

Выражение для работы по перемещению заряда из точки с потен­циалом φ₁в точку с потенциалом φ₂ имеет вид

A₁₂ = Q (φ₂ – φ₁).

Работа измеряется в Дж или эВ. 1эВ = 1,6 ∙10^-19 Дж.

Для наглядного изображения поля вместо линий напряжен­ности (силовых линий) можно воспользоваться поверхностями рав­ного потенциала или эквипотенциальными поверхностями. Экви­потенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция координат x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

φ (x,y,z) = const.

Эквипотенциальные линии – линии, образующиеся от пересечения эквипотенциальной поверхности плоскостью проводятся так, что направление нормали к ним совпадает с направлением вектора в той же точке (рис.74).

Рис. 74

Эквипотенциальную поверхность можно провести через лю­бую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть бесконечное множество. Условились, однако, проводить их таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних эквипотенциальных по­верхностей была всюду одна и та же. Тогда по их густоте можно судить о величине напряженности поля.

Циркуляция вектора напряженности. Связь напряженности с потенциа­лом.

Рассмотрим работу сил электрического поля при перемеще­нии заряда Q₀ из точки 1 по замкнутому контуру L (рис. 75). Эта работа на элементарном отрезке dl контура будет равна , а на всём контуре

Если в результате перемещения мы вернулись опять в точку 1, то работа по перемещению заряда Q₀ , будет равна

A = Q₀ (φ₁ – φ₁) = 0.

Следовательно, Так как Q₀ 0, то

.

Такой интеграл называют циркуляцией вектора Е по замкнутому контуру L. За­писанное равенство читается так: циркуляция вектора напряженности электри­ческого поля по замкнутому контуру равна нулю. Это справедливо для электростатических полей, т.е. полей, создаваемых неподвижными зарядами. Или более обще – для по­тенциальных полей.

Электрические поля можно описать с помощью силовой ха­рактеристики – вектора Е, а также с помощью энергетической ха­рактеристики – скаляра φ – потенциала. Очевидно, что между этими величинами должна существовать связь.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое зарядом Q. В этом поле возьмем 2 точки с координатами х и х + Δх (рис.76). Пусть потенциал, создаваемый этим зарядом, описывается некото­рой функцией φ (х). Расстояние между точками возьмем столь малым, чтобы для приращения потенциала Δφ можно было записать

Рис.76

Тогда работа А по перемещению заряда Q^/ из точки 1 в точку 2 будет равна

Для этой же работы можно написать ее выра­жение через силу

Расстояние Δх надо выбирать таким малым, чтобы на этом отрезке считать F_x и E_x постоянными. Знак ( - ) озна­чает, что работа совершается против сил поля.

Приравнивая эти выражения для работы, получаем

.

Здесь мы рассмотрели изменение потенциала и напряженности поля вдоль одной координаты х. Но в силу однородности пространства это равенство справедливо и для других координат:

Или, если записать в векторном виде

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом функции т.е. градиентом потенциала φ

Е = - grad φ,

т.е. напряженность характеризует быстроту изменения потенциала, или разность потенциалов, приходящуюся на единицу длины сило­вой линии. Если поле однородно, то напряженность поля равна (на­пример, для плоского конденсатора с разностью потенциалов U и расстоянием между его обкладками d) E = U/d. Отсюда видно, что напряженность можно измерять в В/м.