31. Найти величину и направление напряженности электрического поля в вершине равностороннего треугольника, в двух других вершинах которого находятся равные положительные заряды по 20 нКл. Сторона треугольника равна 20 см.
32. В вершинах равностороннего треугольника ABC находятся точечные заряды: qA = -30 нКл, qc = 30 нКл, qB = 80 нКл. Найти величину и направление напряженности электрического поля в середине стороны АС, если сторона треугольника равна 0,3 м.
33. Определить величину и направление напряженности поля в центре равностороннего треугольника АВС со стороной 0,02 м, в вершинах которого находятся заряды: qA = -10 нКл, qВ = 2 нКл, qС = -30 нКл.
34. Расстояние между зарядами 2 и -4 пКл равно 5 см. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 3 см от положительного и 4 см от отрицательного заряда.
35. Три одинаковых заряда по 1 нКл каждый расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 60 и 80 см. Найти величину и направление напряженности электрического поля, создаваемого всеми зарядами в точке пересечения гипотенузы с перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла.
36. Заряды q1 = q4 = 10 мкКл, q2 = q5 = 20 мкКл, q3 = 30 мкКл, q6 = 60 мкКл лежат в вершинах правильного шестиугольника со стороной 0,3 м. Определить величину и направление напряженности поля в центре шестиугольника.
37. В вершинах прямоугольника ABCD находятся точечные заряды: qA= qc = = 0,3 мкКл, qB = -0,2 мкКл, qD = 0,6 мкКл. Определить величину и направление напряженности электрического поля в центре прямоугольника. Диагональ прямоугольника BD равна 0,3 м.
38. В вершинах острых углов ромба, составленного из двух равносторонних треугольников со стороной 10 см, помещены положительные заряды по 2 мкКл каждый. В вершине при одном из тупых углов ромба находится отрицательный заряд -4 мкКл. Определить величину и направление напряженности электрического поля в четвертой вершине ромба.
39. Точечные заряды 2 и -1 мКл находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, если напряженность поля в рассматриваемой точке равна нулю.
40. Расстояние между положительными зарядами 9 и 1 мкКл равно 8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?
41. Электрическое поле образовано двумя бесконечно длинными нитями, заряженными с линейной плотностью 0,2 и -0,3 мкКл/м и расположенными под углом 60°. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, расположенной на биссектрисе угла на расстоянии 20 см от его вершины.
42. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м2, и бесконечной заряженной нитью, образующей угол 60° с плоскостью. Линейная плотность заряда нити равна 3 нКл/м. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии 2 см от его вершины.
43. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии 0,1 м друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях равна 10 мкКл/м. Найти величину и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 0,1 м от каждой нити.
44. Электрическое поле образовано двумя бесконечно длинными нитями, расположенными под прямым углом, и точечным зарядом -15 нКл, помещенным на биссектрисе угла на расстоянии 20 см от его вершины. Линейная плотность зарядов на нитях равна -20 и 3 нКл/м. Найти величину и направление напряжен-ности электрического поля в точке, находящейся на биссектрисе угла на расстоянии 50 см от его вершины.
45. Электрическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью 35,4 нКл/м2, и двумя точечными зарядами величиной -0,3 и 0,8 мкКл. Точечные заряды находятся в вершинах В и С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, расположенного так, что его гипотенуза АС параллельна плоскости. Найти величину и направление напряжен-ности электрического поля в вершине А, если длина гипотенузы равна 42,3 см.
46. Электрическое поле образовано бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью 20 мкКл/м, и двумя точечными зарядами величиной 0,6 и -0,8 мкКл, расположенными на одной прямой, образующей угол 30° с плоскостью. Расстояние между зарядами равно 40 см, положительный заряд находится на расстоянии 20 см от вершины угла. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, расположенной посередине между зарядами.
47. Электрическое поле образовано бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью 1 мкКл/м, и двумя точечными зарядами величиной -1 и 2 мкКл, расположенными на прямой, перпендикулярной нити. Расстояние от нити до первого заряда равно 10 см, между зарядами – 8 см. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, не лежащей на этой прямой, находящейся на расстоянии 8 см от каждого заряда.
48. Электрическое поле создано бесконечной заряженной нитью и заряженным шаром радиусом 2 см. Поверхностная плотность заряда на шаре равна 120 нКл/м2, линейная плотность заряда нити составляет 60 нКл/м. Расстояние от центра шара до нити равно 12 см. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, отстоящей на 16 см от нити и на 8 см от центра шара.
49. Электрическое поле создано заряженным шаром радиусом 1 см и отрицательным точечным зарядом. Поверхностная плотность заряда на шаре равна 20 мкКл/м2. Расстояние от центра шара до точечного заряда составляет 20 см. Найти величину точечного заряда, если напряженность электрического поля в точке, находящейся посередине между шаром и зарядом, равна 14,4 кВ/м.
50. Электрическое поле создано двумя параллельно расположенными нитями и бесконечной отрицательно заряженной плоскостью, перпендикулярной нитям. Линейная плотность заряда нитей составляет 10 и -20 нК/м, расстояние между ними равно 40 см. Найти поверхностную плотность заряда плоскости, если напряженность результирующего электрического поля в точке, находящейся посередине нитей, равна 3 кВ/м.
51. Куб со стороной 1 м помещен в однородное электрическое поле напряженностью 8,1 кН/Кл так, что его ребра параллельны силовым линиям. Чему равен суммарный поток напряженности электрического поля через поверхность куба?
52. Заряд 1 мкКл помещен в центр куба со стороной 0,5 м. Чему равен поток напряженности электрического поля через одну грань?
53. Однородное электрическое поле напряженностью 10 В/м параллельно оси симметрии полусферы радиусом 0,12 м. Чему равен поток напряженности поля через поверхность полусферы? Каким будет результат, если вектор перпендикулярен оси?
54. Поток вектора напряженности через поверхность куба со стороной 18 см равен 1,45 кВ×м. Какой заряд находится внутри куба?
55. Напряженность электрического поля снаружи металлического шара радиусом 3 см вблизи его поверхности равна 210 Н/Кл и направлена к шару. Каким зарядом обладает шар? Используйте при решении задачи теорему Гаусса.
56. Шар радиусом 0,5 см однородно заряжен. Вычислить напряженность электрического поля внутри и снаружи шара, если его объемная плотность равна 5 мкКл/м3.
57. Точечный заряд 5 мкКл помещен на расстоянии 2 см от центра сферической поверхности радиусом 4 см. Чему равен поток напряженности элект-рического поля через сферу?
58. Электрическое поле вблизи поверхности Земли имеет напряженность приблизительно 150 Н/Кл и направлено к ее центру. Найти:1) чему равен суммарный заряд Земли; 2) сколько лишних электронов приходится в среднем на 1 м2 земной поверхности (RЗ = 6380 км).
59. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, поверхностная плотность заряда которой равна 30 нКл/м2. Найти поток вектора напряженности, проходящий через плоскость, ограниченную кругом радиусом 10 см, на расстоянии 90 см от плоскости. Угол наклона плоскости круга к заряженной плоскости a равен 30°.
60. В центре сферы радиусом 33 см находится точечный заряд 11 нКл. Вычислить поток вектора напряженности, проходящий через площадь сферы, равную 25 см2.
3. ПОТЕНЦИАЛ. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА
Потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля. Необходимо помнить о том, что потенциал определен только с точ-ностью до константы (как и потенциальная энергия), поэтому имеет значение не его абсолютная величина, а изменение потенциала. Для точечных зарядов потенциал на бесконечности принимают равным нулю, тогда знак абсолютной величины потенциала зависит от знака заряда. При решении задач на расчет потенциала полей, создаваемых системой зарядов, следует использовать принцип суперпозиции: результирующий потенциал j в каждой точке поля равен алгебраической сумме потенциалов ji полей, созданных отдельными зарядами:
. (41)
Между двумя характеристиками электростатического поля – напряженностью и потенциалом – существует определенная связь: дифференциальная и интегральная:
(42)
. (43)
Следует понимать, что формула
, (44)
где d – модуль перемещения;
a – угол между вектором перемещения и вектором ,
справедлива только для однородного поля.
В общем случае необходимо вычислить линейный интеграл (43).
Примеры решения задач
Задача 7. В вершинах квадрата ABCD (рис. 7) расположены точечные заряды: qA = 20 нКл, qB = -30 нКл, qc = 40 нКл. Определить потенциал электрического поля в свободной вершине. Сторона квадрата равна 12 см.
Дано:
а = 12 см = 12×10-2 м
qA = 20 нКл = 2×10-8 Кл
qв = -30 нКл = -3×10-8 Кл
qс = 40 нКл = 4×10-8 Кл
Найти: j
Рис. 7
Решение. Поле создано тремя зарядами. Согласно принципу суперпозиции потенциал j в точке D равен алгебраической сумме потенциалов jA, jB и jCзарядов, находящихся в точках А, В и С:
j = jA + jB + jC. (45)
Потенциал точечных зарядов находим по формулам:
jA = ; (46)
jB = ; (47)
jC = . (48)
В формуле (45) знак заряда определяет знак потенциала. Как видно из рис. 7, r = . Подставим формулы (46) – (48) в уравнение (45):
j = + + = . (49)
Решим уравнение (49) и, учитывая знак заряда, получим:
j = 2895 В » 2,9 кВ.
Ответ: j » 2,9 кВ.
Задача 8. длинная нить заряжена с линейной плотностью 2 нКл/м. Определить разность потенциалов между точками А и В, расположенными на расстоянии 10 см друг от друга. Точки А и В находятся на расстоянии 3 и 6 см от нити соответственно и лежат в одной плоскости с нитью (рис. 8).
Дано:
= 10 см = 0,1 м
t = 2 нКл/м = 2×10-9 Кл/м
r1 = 3 см = 0,03 м
r2 = 6 см = 0,06 м
Найти: Dj .
Решение. Напряженность поля заряженной нити зависит от расстояния до точки наблюдения:
Ен = . (50)
Следовательно, поле неоднородное, т. е. меняется в пространстве. Поле неподвижной заряженной нити является потенциальным, и криволинейный интеграл (43) не зависит от пути интегрирования и определяется только начальной и конечной точками. Вычислив интеграл, получаем расчетную формулу:
перпендикулярен оси?
. (41)
(42)
. (43)
, (44)
Задача 7. В вершинах квадрата ABCD (рис. 7) расположены точечные заряды: qA = 20 нКл, qB = -30 нКл, qc = 40 нКл. Определить потенциал электрического поля в свободной вершине. Сторона квадрата равна 12 см.
; (46)
; (47)
. (48)
. Подставим формулы (46) – (48) в уравнение (45):
. (49)
= 10 см = 0,1 м
t = 2 нКл/м = 2×10-9 Кл/м
r1 = 3 см = 0,03 м
r2 = 6 см = 0,06 м
. (50)
. (51)