Задачи для самостоятельного решения

ББК 22.331я73

С32

Электростатика: Методические указания к решению задач по физике / О. И. Сердюк; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. 48 с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по электростатике, примеры решения типовых задач и набор задач для проведения практических, контрольных занятий, индивидуальные задания для контроля самостоятельной работы студентов.

Методические указания предназначены для студентов первого курса технических специальностей очной формы обучения при подготовке к занятиям и экзаменам.

Библиогр.: 4 назв. Табл. 1. Рис. 11.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. В. Харламов;

канд. физ.-мат. наук Г. И. косенко.

_________________________

© Омский гос. университет

путей сообщения, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................................................................. 5

1. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона....................................... 5

1.1. Примеры решения задач......................................................... 6

1.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 10

2. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. По-

ток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса 13

2.1. Примеры решения задач....................................................... 15

2.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 19

3. Потенциал. Работа сил электростатического поля. Связь

напряженности и потенциала....................................................... 22

3.1. Примеры решения задач....................................................... 23

3.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 25

4. Движение заряженных частиц в электрических полях............... 28

4.1. Примеры решения задач....................................................... 29

4.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 32

5. Электроемкость. Конденсаторы. Энергия заряженного

проводника, заряженного конденсатора......................................... 37

5.1. Примеры решения задач....................................................... 38

5.2. Задачи для самостоятельного решения................................ 41

Библиографический список.............................................................. 47

Успешное изучение общего курса физики в вузе невозможно без умения применять физические закономерности при решении практических задач, однако именно решение задач вызывает наибольшие затруднения у студентов. Цель данных методических указаний – оказание помощи студентам в освоении методики решения задач и обеспечение практических аудиторных занятий, контрольных работ определенным набором задач по разделу «Электростатика».

В каждом разделе данных методических указаний содержатся краткие теоретические сведения, рекомендации по решению задач, которые помогут подготовиться к занятиям, а также представлены примеры решения типовых задач по основным темам электростатики и задачи для самостоятельного решения.

В основу каждой физической задачи положен частный случай проявления законов физики, поэтому, прежде чем приступить к решению задачи, необходимо изучить теоретический материал по соответствующей теме. Затем следует записать условие задачи, перевести единицы измерения всех величин в основные единицы СИ и, если это необходимо, сделать схематический рисунок, отражающий условие задачи. Задачу следует решать в общем виде. Это означает, что сначала определяется формула для расчета искомой величины, затем в нее подставляются численные данные. Это позволяет лучше понять физические закономерности, в частности, выяснить, как зависит искомая величина от изменения исходных данных.

1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА

Электростатика изучает электрическое поле, которое создается неподвижными относительно данной системы отсчета электрическими зарядами. Взаимодействие между электрическими зарядами осуществляется за счет электростатического поля. При изучении теоретического материала необходимо разобраться с понятиями «электрический заряд», «точечный заряд», а также усвоить, что закон Кулона применим только к точечным зарядам и сферически-симметричным заряженным телам. При решении задач по электростатике следует иметь в виду, что при взаимодействии нескольких зарядов силы взаимодействия каждой пары зарядов не зависят от наличия остальных зарядов, поэтому сила , действующая на каждый заряд, равна вектор-

ной сумме сил , действующих на него со стороны всех других зарядов (принцип суперпозиции сил):

. (1)

В задачах, в которых заряды находятся в равновесии, результирующая сила , действующая на каждый заряд, равна нулю.

Примеры решения задач

Задача 1. В вершинах квадрата ABCD (рис. 1) находятся точечные заряды q_B = q_D = 20 нКл, q_A = = -50 нКл. Найти величину и направление силы, действующей на заряд q_C = 40 нКл. Сторона квадрата равна 4 см.

Решение. Расставим на рисунке силы, действующие на заряд q_c со стороны зарядов q_A, q_B, q_D.

Согласно принципу суперпозиции

. (2)

Выберем оси координат Ох и Oу и запишем уравнения в проекциях на них:

Oу: F_у = -F_A sin a + F_B,

где a = 45°.

По закону Кулона

(4)

Подставим формулы (4) в уравнения (3) и рассчитаем проекции сил по формулам:

(5)

Так как заряды q_B и q_D одинаковые, то и сила F_В = F_D. Кроме того, cos 45° = sin 45°. Следовательно, проекции результирующей силы равны: F_х = = F_у = 56×10^-4 Н.

Модуль силы

F = 79×10^-4 (Н).

Для определения направления результирующей силы необходимо найти угол b, который она составляет с осью Ох:

tg b = ; tg b = 1; b = 45°.

Ответ: F = 79×10^-4 Н, b = 45°.

Задача 2. Два точечных заряда (180 и 720 нКл) находятся на расстоянии 60 см друг от друга и жестко закреплены (рис. 2). Какого знака и в какой точке должен находиться третий заряд, чтобы он был в равновесии?

Дано: ql = 180 нКл = 18×10-8 Кл q2 = 720 нКл = 72×10-8 Кл r = 60 см = 0,6 м

Найти: .

Решение. Заряд q₃ будет находиться в равновесии в том случае, если результирующая сила, действующая на него, равна нулю. Это значит, что на заряд q₃ (см. рис. 2) должны действовать две силы, равные по величине и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков (I, II, III) может быть выполнено это условие. Для определенности предположим, что заряд q₃ – положительный. На участке I обе силы ( и ) направлены влево, на участке III – вправо, значит, условие равновесия может выполняться только на участке II.

Условие равновесия в векторной форме имеет вид:

+ = 0. (6а)

Запишем уравнение (6а) в проекции на ось Оx:

- = 0; = . (6б)

Найдем выражение для сил по закону Кулона:

; (7)

(8)

Приравняем правые части уравнений (7) и (8) и выполним алгебраические действия, в результате которых получим:

. (9)

По условию задачи выберем положительный корень. Выразим из формулы (9) и подставим данные задачи:

; (10)

= 0,2 м.

Предположим, что заряд q₃ может двигаться только вдоль линии, соединяющей заряды q₁ и q₂. Определим знак заряда q₃, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в исходное положение. Если положительный заряд q₃ слегка отклонить влево от положения равновесия, то обе силы изменятся: F₁₃ будет возрастать, F₂₃ – убывать. Значит, результирующая сила будет направлена вправо, т. е. к положению равновесия. Если заряд q₃ отклонить вправо, то F₁₃ будет убывать, F₂₃ – возрастать. Значит, результирующая сила будет направлена влево, т. е. к положению равновесия. Условие, что заряд q₃ может двигаться только вдоль прямой, очень важно, так как направления вверх и вниз неустойчивы. Для отрицательного заряда q₃ положение равновесия будет неустойчивым.

Ответ: = 0,2 м.

Задача 3. Два одинаковых маленьких металлических шарика массой 1 г каждый подвешены в одной точке на непроводящих нитях длиной 1 м каждая (рис. 3). Какой заряд необходимо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол 60°?

Дано: a = 60° m1 = m2 = m = 1 г = 10-3 кг = 1 м

Найти: q.

Решение. После сообщения шарикам заряда q, он распределится поровну между ними, поскольку они одинаковые. На каждом шарике окажется заряд q/2, в результате чего между шариками возникает электрическая сила отталкивания. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков: - сила тяжести, - натяжения, - электрическая. Шарик будет находиться в равновесии, если результирующая этих сил равна нулю:

0 = + + . (11)

Выберем оси координат Оx и Oy и запишем уравнение (11) в проекциях на них:

Oу: 0 = F cos - mg.

Решив систему уравнений (12), выразим силу F_K:

F_K = mg tg . (13)

С другой стороны, F_K можно выразить по закону Кулона:

(14)

Расстояние между шариками найдем по чертежу, приведенному на рис. 3:

r = 2 sin . (15)

Приравнивая формулы (13) и (14) с учетом уравнения (15), определим величину заряда q:

mg tg = ; (16)

q= . (17)

Подставив данные задачи в расчетную формулу (16), получим: q = 2 мкКл.

Ответ: q = 2 мкКл.

Задачи для самостоятельного решения

1. Три точечных заряда величиной 2, -3 и 4 нКл находятся на одной линии на расстоянии 60 см друг от друга. Найти величину и направление силы, действующей на центральный отрицательный заряд.

2. В вершинах равностороннего треугольника АВС со стороной 10 см находятся точечные заряды: q_A = -2 нКл, q_В = -14 нКл, q_С = -6 нКл. Найти величину и направление силы, действующей на заряд 1 нКл, расположенный в середине стороны АС.

3. В вершинах равностороннего треугольника ABC со стороной 5 см находятся заряды q_В = q_С = 20 мкКл; q_А = -20 мкКл. Найти величину и направление силы, действующей на заряд q_С.

4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной 0,1 м находятся точечные заряды 5, 3 и 4 нКл. Найти величину и направление силы, действующей на заряд 2 нКл, помещенный в центр треугольника.

5. В вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см расположены точечные заряды q, 1q, 3q, 4 q, 2 q, q (q = 1 мкКл). Найти величину и направление силы, действующей на точечный заряд q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от его вершин.

6. В вершинах равностороннего треугольника ABC находятся заряды: q_А = 30 мкКл, q_В = -6 мкКл, q_c = -4 мкКл. Сторона треугольника равна 6 см. Найти силу, действующую на заряд 2 мкКл, помещенный на продолжении стороны ВС на расстоянии 6 см от вершины С.

7. В вершинах квадрата ABCD находятся точечные заряды: q_А = 40 мкКл, q_В = -20 мкКл, q_С = 4 мкКл, q_D = 6 мкКл. Сторона квадрата равна 0,2 м. Найти силу, действующую на заряд 30 мкКл, помещенный в середину стороны CD.

8. В двух вершинах квадрата ABCD со стороной 10 см находятся точечные заряды: q_А = 40 нКл, q_В = -50 нКл. Найти силу, действующую на заряд 10 нКл, помещенный на продолжении стороны CD на расстоянии, равном стороне квадрата от вершины D.

9. В вершинах прямоугольника ABCD находятся соответственно точечные заряды величиной 4, -2,-3 и 5 нКл. Определить величину и направление силы, действующей на заряд -1 нКл, помещенный в центр прямоугольника, если стороны прямоугольника АВ = 5 см, ВС = 8 см.

10. В вершинах прямоугольника ABCD находятся соответственно точечные заряды величиной 6, 3, 5 и 5 мкКл. Определить величину и направление силы, действующей на заряд 1 мкКл, помещенный в середину стороны AD, если АВ = 4 см, ВС = 6 см.

11. Заряды 9q и -q закреплены на расстоянии 1 м друг от друга. Третий заряд q может передвигаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение равновесия третьего заряда. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым?

12. Расстояние между точечными зарядами 180 и 720 мКл равно 60 см. Определить точку на прямой, проходящей через эти заряды, в которой необходимо поместить третий заряд так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить величину и знак третьего заряда. Устойчивым или неустойчивым будет равновесие?

13. Три одинаковых заряда по 1 мКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд необходимо поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым?

14. В центре равностороннего треугольника, в вершинах которого находятся одинаковые точечные заряды, помещен отрицательный заряд -0,3 мкКл. Найти величину зарядов, если результирующая сила, действующая на каждый заряд, равна нулю.

15. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды по 0,3 мКл каждый. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

16. Шарик массой 2 г, имеющий заряд 20 нКл, подвешен на тонкой изолирующей нити. Определить натяжение нити, если снизу на расстоянии 5 см от шарика расположен одноименный заряд 0,12 мкКл.

17. На шелковой нити подвешен маленький шарик массой 0,1 г. Шарику сообщен заряд 80 нКл. На какое расстояние необходимо поднести к шарику снизу одноименный и равный заряд, чтобы сила натяжения уменьшилась в четыре раза?

18. Шарики малых размеров массой 1 и 2 г связаны нерастяжимой нитью длиной 40 см. Эта система подвешена вертикально с помощью другой нити за шарик меньшей массы. Шарикам сообщили заряды по 1 мкКл. Найти силы натяжения нитей на всех участках.

19. Три точечных заряда (1, 2 и 3 мкКл) связаны нерастяжимыми нитями длиной 1 м каждая. Найти силы натяжения нитей. Система расположена горизонтально.

20. Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заряженных капель радиусом 0,1 мм каждая уравновешивается кулоновской силой отталкивания. Определить заряд и поверхностную плотность заряда капель. Плотность воды равна 1 г/см³.

21. Два одинаковых шарика подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда 4 мкКл они оттолкнулись и разошлись на угол 60°. Найти массу каждого шарика, если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 2 м.

22. Два одинаковых шарика массой 0,9 г каждый подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам некоторого заряда они оттолкнулись и разошлись на угол 30°. Найти заряд, сообщенный шарикам, если расстояние от точки подвеса до центра шарика равно 1 м.

23. Два одинаковых шарика массой 9 г каждый подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После того как каждому шарику сообщили заряд 0,3 мкКл, шарики разошлись и расстояние между их центрами стало равно 0,3 м. Определить силу натяжения нити.

24. На какой угол разойдутся нити, на которых подвешены два одинаковых шарика, если первоначально их поверхности соприкасались, а после сообщения им заряда 0,8 мкКл расстояние между их центрами стало равно 8 см? Сила натяжения каждой нити равна 0,98 Н. Найти массу каждого шарика.

25. Два одинаковых шарика массой 3 г каждый подвешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда 0,8 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 90°. Определить расстояние от точки подвеса до центра шарика.

26. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают в керосин плотностью 0,8 г/см³. Какой должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина равна двум.

27. Одинаковые шарики, подвешенные на закрепленных в одной точке нитях равной длины, зарядили одинаковыми одноименными зарядами. Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен 60°. После погружения шариков в керосин угол между нитями уменьшился до 50°. Найти диэлектрическую проницаемость керосина. Плотность материала шариков равна 2 г/см³, керосина – 0,8 г/см³.

28. К бесконечной равномерно заряженной вертикальной плоскости подвешен на нити одноименно заряженный шарик массой 10 г и зарядом 0,2 нКл. Сила натяжения нити равна 200 мН. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.

29. На тонкостенном длинном цилиндре радиусом 5 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью 10 мкКл/м². К цилиндру на нити длиной 80 см подвешен одноименно заряженный шарик массой 50 г. Найти заряд шарика, если нить образует с поверхностью цилиндра угол 45°.

30. К бесконечно длинному проводу, равномерно заряженному с линейной плотностью 3 мкКл/м, подвешен на нити одноименно заряженный шарик массой 25 г и радиусом 2 см. Найти поверхностную плотность заряда на шарике, если сила натяжения нити равна 0,5 Н, длина нити – 60 см.

2. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. Поток вектора напряженности

электрического поля. теорема гаусса

Основной силовой характеристикой электрического поля является вектор напряженности электрического поля , который в каждой точке направлен так же, как и сила, действующая со стороны поля на положительный пробный заряд, помещенный в эту точку.

Если поле создано несколькими точечными зарядами, то согласно принципу суперпозиции полей напряженность в каждой точке поля равна векторной сумме напряженностей полей , создаваемых каждым зарядом в отдельности:

. (18)

В случае, когда поле создано не точечными зарядами, а распределенными симметрично по сферическим, цилиндрическим и плоским поверхностям, напряженность поля рассчитывают с помощью теоремы Гаусса. При решении задач на расчет потока вектора напряженности электрического поля через заданную поверхность необходимо понимать, что однородное электрическое поле – это частный случай. Поток в таком поле, проходящий через плоскую поверхность,

. (19)

В случае неоднородного электрического поля для поверхности произвольной формы необходимо вычислить поверхностный интеграл:

. (20)

где S – площадь поверхности;

a – угол между нормалью к элементу поверхности и вектором .

Из формул (19) и (20) видно, что поток является алгебраической величиной, зависящей от ориентации элемента площади, и может иметь положительный и отрицательный знак. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, это утверждение называется теоремой Гаусса:

где e₀- электрическая постоянная;

q_i – заряды, находящиеся внутри поверхности.

Примеры решения задач

Задача 4. В вершинах прямоугольника ABCD (рис. 4) со сторонами АВ = 6 см, ВС = 4 см находятся точечные заряды: q_A = 20 мкКл и q_c = -30 мкКл. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, расположенной в середине стороны CD.

Решение. Вектор напряженности в каждой точке поля совпадает по направлению с силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку. Исходя из этого расставим направление векторов и (см. рис. 4) в искомой точке. Согласно принципу суперпозиции

= + . (22)

Модуль вектора можно найти, если известны его проекции на оси:

Oу: Е_у = Е_A sin a.

Напряженность электрических полей точечных зарядов q_A и q_С найдем по формулам:

; (24)

, (25)

а тригонометрические функции определим из чертежа (см. рис. 4):

cos a = (26)

; sin a = .

Подставим правые части уравнений (24), (25) и (26) в формулу (23) и рассчитаем проекции Е_x и Е_у:

; (27)

Е_x = 34×10⁷ В/м;

; (28)

Е_у = 5,8×10⁷ В/м.

Модуль результирующей напряженности

(29)

Е = 3,45×10⁶ В/м.

Направление результирующей напряженности определим через ее компоненты: tg b = ; tg b = 0,17; b = 9,7°.

Ответ: Е = 3,45×10⁶ В/м; b = 9,7°.

Задача 5. Круг радиусом 15 см помещен в однородное электрическое поле напряженностью 0,36 мВ/м (рис. 5). Чему равен поток вектора напряженности, проходящий через площадку, ограниченную кругом, если она: 1) перпендикулярна силовым линиям; 2) составляет угол 45° с ними; 3) параллельна им?

Решение. Согласно формуле (19) поток вектора напряженности

Ф_е = ES cos a = EpR² cos a, (30)

где a – угол между нормалью к поверхности круга и вектором напряжен-ности электрического поля ;

R – радиус окружности.

Вычисляем: 1) a = 0°; Ф_е = 25 мкВ×м; 2) a = 45°; Ф_е = 18 мкВ×м; 3) a = 90°; Ф_е = 0.

Ответ: 1) a = 0°; Ф_е = 25 мкВ×м; 2) a = 45°; Ф_е = 18 мкВ×м; 3) a = 90°; Ф_е = 0.

Задача 6. Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плот-ностью -6 нКл/м, находится на расстоянии 20 см от центра шара радиусом 1 см, заряженного с поверхностной плотностью 0,5 мкКл/м². Перпендикулярно нити расположена бесконечная плоскость, заряженная с поверхностной плот-ностью 18 пКл/м² и расположенная снизу шара. Найти величину и направление напряженности создаваемого ими электрического поля в точке А, расположенной на расстоянии 25 см от нити и 10 см от центра шара. Центр шара, нить и точка А лежат в одной плоскости (рис. 6).

Решение. Укажем направление векторов напряженностей электрических полей, создаваемых каждым заряженным телом, в точке А. Согласно принципу суперпозиции напряженность результирующего поля

= + + . (31)

Выберем оси координат Ох и Oу и запишем уравнение (31) в проекциях на них:

Oу: Е_у = Е_ш sin a + Е_п.

Напряженность поля заряженной нити Е_н, заряженной плоскости Е_пи заряженного шара Е_ш равна соответственно:

Е_н = ; (33)

Е_п= ; (34)

Е_ш = . (35)

Заряд шара можно найти через поверхностную плотность заряда и площадь поверхности шара S:

q = s₁S = s₁4pR². (36)

Подставим выражение (36) для заряда в формулу (35):

Е_ш = . (37)

Как видно из рис. 6,

cos a = (38)

a = 60°.

Подставим уравнения (33), (34), (35) и (28) в формулы (32):

Е_x = ; (39)

Е_у = . (40)

Подставив данные задачи, рассчитаем проекции Е_х и Е_у, величину и направление результирующей напряженности:

Е_х = 72 В/м; Е_у = 40 В/м; = 82 (В/м); b = arctg = 29°.

Ответ: Е_х = 72 В/м; Е_у = 40 В/м; = 82 (В/м); b = arctg = 29°.