Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(13)
где а1,…, ап – постоянные. Общее решение этого уравнения можно получить, решив характеристическое уравнение
. (14)
Каждый действительный корень λi этого уравнения кратности k соответ-ствует линейной комбинации фундаментальных решений уравнения (13) в форме (С1 + С2х +…+ Сkxk-1) 
. Пара комплексно сопряженных корней 
кратности т дает комбинацию фундаментальных решений вида 
.
В частности, характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка
(15)
является квадратным: 
. Поэтому общее решение уравнения (15) может иметь один из трех видов:
а) если дискриминант характеристического уравнения 
а 
его различные действительные корни, то решение уравне-ния (15) выглядит так:
; (16)
б) если D = 0, характеристическое уравнение имеет один корень λ0, и общее решение уравнения (15) имеет вид:
; (17)
в) при D < 0 характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни 
, а общее решение уравнения (15) записывается в форме:
(18)
Пример 10. Найти общее решение уравнения 
.
Решение.
Составим и решим характеристическое уравнение: 
Значит, общее решение записывается в виде (16): 
.
Пример 11. Найти общее решение уравнения 
Решение.
Характеристическое уравнение 
имеет один действитель-ный корень λ = 0 кратности 3 и два комплексно сопряженных корня: - 2 ± 3i. Поэтому, так как е0∙х = 1, общее решение записывается в форме (17) и (18):
.
