Вера Ивановна Титаренко

Кафедра «Проектирование вычислительных комплексов»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания и варианты курсовых заданий

Составители: Выск Н.Д.

Титаренко В.И.

Москва 2005

Министерство образования и науки

Российской Федерации

«МАТИ» - Российский государственный

технологический университет им. К.Э. Циолковского

Кафедра «Проектирование вычислительных комплексов»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания и варианты курсовых заданий

Составители: Выск Н.Д.

Титаренко В.И.

Москва 2005

Оглавление

I. Дифференциальные уравнения первого порядка………….…………………3

1. Уравнения с разделяющимися переменными……………..…………………3

2. Однородные уравнения………………………………………………………..4

3. Уравнения в полных дифференциалах……………………………………….6

4. Линейные уравнения первого порядка…………….…………………………7

II. Уравнения высших порядков…………………………………………………8

1. Уравнения, допускающие понижение порядка………………………………8

2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами……..10

3. Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора

частного решения……………………………………………………………..11

4. Решение неоднородного линейного уравнения с

постоянными коэффициентами методом вариации постоянных…………..13

III. Системы однородных линейных уравнений

первого порядка с постоянными коэффициентами……………………….14

Варианты курсовых заданий……………………………………………………15

Наталия Дмитриевна Выск

Вера Ивановна Титаренко

Пособие предназначено для студентов 1-2 курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифферен-циальных уравнений первого и высших порядков. В каждом разделе приво-дится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам пред-лагается выполнить курсовое задание по рассматриваемым темам.

Настоящие методические указания могут использоваться студентами на всех факультетах и специальностях.

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называет-ся уравнение вида

, (1)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную.

Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной.

Множество всех решений уравнения (1) называется его общим решением, или общим интегралом. Оно имеет вид

y = f (x, С), (2)

такой, что любое частное решение получается из формулы (2) при некотором значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения (1).

Задача нахождения частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию y₀ = f (x₀), называется задачей Коши для уравнения первого порядка.

Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка, для которых можно найти аналитическое решение.