Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема как на отрезке [a,b], так и на любом меньшем отрезке [а,х], где 
[a,b]. Значит, величина
является функцией от х. Она называется интегралом с переменным верхним пределом и является первообразной для функции f(x). Другими словами, функция Ф(х) в каждой своей точке имеет производную, равную f(x):
.
Теперь перейдем к вопросу вычисления определенного интеграла.
Теорема. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и F(х) является первообразной для функции f(x). Тогда
.
(Эта основная формула интегрального исчисления называется формулой Ньютона-Лейбница. Она позволяет сводить вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной.)
Док-во. Пусть функция y=f(x) имеет некоторую первообразную F(x). Тогда F(x)=Ф(x)+C, где - другая первообразная f(x). Имеем:
.▲
Пример. 
1-6+9-27+54-27=4.
Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x=φ(t) определена на отрезке [α,β] и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем φ(α)=a, φ(β)=b и φ([α,β])=[a,b]. Тогда
.
Док-во. Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), тогда 
и 
. Тогда
.▲
Пример. Найти
.
Применим подстановку 
. Найдем новые пределы интегрирования: при 
; при 
.
.
