Определенный интеграл.

Пусть функция определена и непрерывна (а значит, ограничена) на [a,b].

Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками

.

Длину каждого i-го отрезка разбиения назовем

, .

Внутри каждого отрезка разбиения выберем произвольно по точке .

Составим сумму

. (1)

Выражение вида (1) называется интегральной суммой функции f(x) по отрезку [a,b]. Если функция непрерывна на отрезке , то существует предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков стремится к нулю, и он не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в каждом из них.

Опр. Предел интегральной суммы функции f(x) по отрезку [a,b] при стремлении длины наибольшего из частичных отрезков к нулю, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается

.

Числа а и в называют нижним и верхним пределами интегрирования. Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Любая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Из рисунка видно, что интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, образованной из прямоугольников шириной , высотой . При неограниченном измельчении длин отрезков разбиения площадь этой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции. Следовательно, определенный интеграл в геометрическом смысле равен площади криволинейной трапеции, заключенной между графиком неотрицательной функции и осью Ох на отрезке [a,b].