Методические рекомендации

1. Взаимная индукция – частный случай электромагнитной индукции, заключается в возникновении эдс в одном из контуров при изменении силы тока в другом. Поэтому эдс индукции определяется по закону
Фарадея (47). В этой формуле – взаимная индуктивность контуров. Справедливо заметить, что нужно говорить о взаимной индуктивности каждого контура . Но при отсутствии ферромагнетиков . Это свойство принято называть теоремой взаимности. Смысл этой теоремы заключается в том, что магнитный поток сквозь контур 1, созданный током в контуре 2, равен магнитному потоку сквозь контур 2, созданный таким же током в контуре 1. Это обстоятельство очень часто позволяет сильно упрощать решение задач с нахождением магнитных потоков.

При наличие ферромагнетиков теорема взаимности перестает выполняться. В этом случае при вычислении магнитных потоков и в контурах нужно учитывать, что и разные (они зависят от и ), поэтому и не совпадают.

2. В отличие от индуктивности , которая является величиной положительной, взаимная индуктивность – величина алгебраическая (и может быть равна нулю).

Положительные направления для токов (и эдс) в обоих случаях можно выбрать произвольно. Когда эти направления выбраны, то величину мы считаем положительной ( ), если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга. В противоположном случае (рис. 50). 3. Формула (50) позволяет определить энергию магнитного поля контура с индуктивностью , по которому течет ток , в отсутствии ферромагнетика. Она выражает магнитную энергию тока через индуктивность и силу тока. Но её можно также выразить через

характеристики магнитного поля: магнитную индукцию и напряженность поля . Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объём . Однако в общей теории показывается, что энергию можно выразить через и в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле .

Формула (51) относится только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам она не применима.

Используя формулу (50) и , можно определить индуктивность .

4. Магнитная энергия двух контуров с током определяется соотношением ,

где и – собственная энергия 1 и 2 контуров; – взаимная энергия обоих токов.

Взаимная энергия токов – величина алгебраическая, в отличие от собственных энергий токов.

5. Энергетический метод является наиболее общим методом определения сил в магнитном поле. В этом методе используется выражение для энергии магнитного поля.

В случае системы из двух контуров с токами и работа источников тока против эдс индукции и самоиндукции, связанная с изменением потоков и , идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу:

.

из данной формулы можно получить частные случаи:

а) если потоки постоянны ( = const), то ;

б) если токи постоянны ( = const), то .

В обоих случаях можно записать .

Полученные частные формулы пригодны для системы, состоящей из любого числа контуров.

6. Ток смещения эквивалентен току проводимости в отношении способности создавать магнитное поле. Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. В диэлектриках ток смещения складывается из тока смещения в вакууме и тока поляризации – величины, обусловленной движением связанных зарядов.

7. Уравнения Максвелла в сжатой форме выражают совокупность наших сведений об электромагнитном поле.

В уравнении (54 а) под понимается как вихревое электрическое поле, так и электростатическое.

Если поле стационарное ( = const, = const), уравнения Максвелла распадаются на две группы независимых уравнений:

, ;

, .

Для нахождения полей и удобно пользоваться уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:

, ;

, .

Но эти уравнения предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. В случае наличия поверхностей разрыва эти уравнения дополняются граничными условиями, которые должны удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред: .

Уравнения Максвелла также дополняются материальными уравнениями. Они наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, медленно меняющихся в пространстве и во времени: ,

где – электрическая и магнитная постоянные; – диэлектрическая, магнитная проницаемости среды и электропроводимость соответственно; – напряженность поля сторонних сил.

Примеры решения задач

Пример 1. Две катушки намотаны на общий сердечник. Индуктивность первой катушки = 0,16 Гн, второй – = 1 Гн, сопротивление второй катушки = 400 Ом. Определить силу тока во второй катушке, если ток = 0,4 А, текущий в первой катушке, выключить в течение 0,002с.

Решение

Сила тока во второй катушке определяем по закону Ома

, (а)

где – эдс индукции, возникающая во второй катушке при изменении силы тока в первой.

По закону электромагнитной индукции

, (б)

– взаимная индуктивность катушек.

, (в)

где – магнитная постоянная; – магнитная проницаемость среды;
– площадь поперечного сечения сердечника; – его длина;
– число витков первой и второй катушек.

(г)

Учитывая (г), формулу (в) запишем в следующем виде:

. (д)

Из формул (а), (б) и (д) следует:

.

Подставляем числовые значения и получаем результат .

Пример 2. В некоторой плоскости лежат два круговых витка 1 и 2 , центры которых совпадают. Радиусы витков и . В витке 1 течет ток . Найти магнитный поток , охватываемый витком 2, если .

Решение

Согласно теореме взаимности .

Если ток пропускается по контуру 2, магнитный поток , создаваемый этим током через виток 1 при условии , имеет вид:

=> .

Пример 3. Вдоль оси симметрии тороидальной катушки, имеющей прямоугольное сечение, проходит длинный прямой провод. Внутренний радиус катушки , внешний – , высота сердечника . Число витков катушки , внешняя среда – воздух. Найти амплитудное значение эдс, индуцируемой в этой катушке, если по прямому проводу течет переменный ток .

Решение

По закону электромагнитной индукции

, , где – магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки:

Максимальное значение эдс:

.

Пример 4. Сравните энергии, содержащиеся в вакууме в объёме = 1 л, если он пронизан: 1) однородным электрическим полем с напряженностью = 100 кВ/м; 2) однородным магнитным полем с индукцией = 1 Тл.

Решение

Энергия электрического поля .

Энергия магнитного поля ;

,

где – электрическая постоянная; – магнитная постоянная.

Подставим числовые значения:

= 1 л = 1·10^-3 м³; = 100 кВ/м = 1·10⁵ В/м; = 1 Тл; = 8,85·10^-12 Ф/м; = 4 ·10^-7 Гн/м.

Вычисления дают раз.

Следовательно, практически выгоднее накапливать энергию в магнитном поле.

Пример 5. Катушка без сердечника содержит 1000 витков и имеет длину 50 см. Определить объёмную плотность магнитного поля внутри катушки, если по ней течет ток 2 А.

Решение

Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы объёма) , где – энергия магнитного поля; – объём катушки;

,

где – индуктивность катушки, ,

, тогда .

Подставим числовые значения: = 1000; = 0,5 м; = 2 А, Гн/м.

.

Пример 6. Сравнить величину амплитудных значений токов проводимости и смещения в среде с проводимостью и относительной диэлектрической проницаемостью для частоты поля .

Решение

Плотность тока проводимости определяем по закону Ома

,

где , так как ток смещения в среде обусловлен переменным электрическим полем.

.

Плотность тока смещения:

.

Отношение амплитудных значений:

.