Методические рекомендации

1. Формула (39) позволяет определить мгновенное значение эдс индукции. Знак «минус» объясняется правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так, что своим магнитным полем, он противодействует изменению магнитного потока, породившего этот ток.

В случае если магнитный поток сквозь контур меняется монотонно,
т. е. увеличивается или уменьшается равномерно, формулу (41) можно записать так: . В случае если магнитный поток изменяется неравномерно, то этой формулой можно воспользоваться для определения средней эдс индукции.

2. Если контур, в котором возникает эдс индукции замкнут, то в нём течет индукционный ток, определяемый по закону Ома, , где
– сопротивление контура.

3. На концах проводника, движущегося в магнитном поле со скоростью , возникает разность потенциалов. Эта разность потенциалов обусловлена явлением электромагнитной индукции и равна эдс индукции, возникающей в проводнике ,

где – индукция магнитного поля, – скорость движения проводника; – длина проводника; – угол между векторами и .

4. Если в контуре течет равномерно изменяющийся ток, то в нём возникает эдс самоиндукции, которую можно определить по формуле , где – изменение тока за время .

5. Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по формуле (43) для определения магнитной проницаемости (если она не дана в условии задачи) следует пользоваться графиком зависимости от (прил. 1), а затем формулой .

Примеры решения задач

Пример 1.

Магнитное поле изменяется по закону , где = 15 мТл, . В магнитное поле помещен круговой проводящий виток радиусом = 20 см под углом к направлению поля (в начальный момент времени). Найти эдс индукции, возникающую в витке в момент времени = 5 с.

Решение

По закону электромагнитной индукции возникающая в витке эдс индукции , где – магнитный поток, сцепленный в витке.

,

где – площадь витка, ; – угол между направлением вектора магнитной индукции и нормалью к контуру: .

.

Подставим числовые значения: = 15 мТл, , = 20 см = = 0,2 м, .

Вычисления дают .

Пример 2 В однородном магнитном поле с индукцией = 0,2 Тл расположена прямоугольная рамка, подвижная сторона которой длиной = 0,2 м перемещается со скоростью = 25 м/с перпендикулярно линиям индукции поля (рис. 42). Определить эдс индукции, возникающую в контуре. Решение При движении проводника АВ в магнитном поле площадь рамки увеличивается, следовательно, возрастает магнитный поток сквозь рамку и возникает эдс индукции.

По закону Фарадея , где , тогда , но , поэтому .

Так, .

Знак «–» показывает, что эдс индукции и индукционный ток направлены против часовой стрелки.

Пример 3

В однородном магнитном поле индукцией = 200 мТл находится круговой виток диаметром = 8 см, изготовленный из медного проводника диаметром = 0,5 мм. Плоскость витка перпендикулярна магнитным линиям. Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника, если индукция магнитного поля равномерно уменьшится до = 0? Удельное сопротивление меди .

Решение

При изменении магнитной индукции от значении до 0 изменяется магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную круговым витком, в нём возникает индукционный ток. По закону Ома

,

где – эдс индукции; – сопротивление контура.

По определению сила тока находится по формуле => .

По закону Фарадея (поток меняется равномерно),

следовательно, .

Изменение магнитного потока , где , , так как ; – площадь витка; – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции.

По условию , .

Получаем .

Сопротивление проводника .

Площадь сечения проводника , длина проводника , поэтому , тогда для получаем

.

Подставим числовые значения:

= 200 мТл = 0,2 Тл, = 8 см = 8∙10^–2 м, d = 0,5 мм = 5∙10^–4 м, .

Вычисления дают .

Пример 4

Проводящий стержень длиной = 1м равномерно вращается в горизонтальной плоскости с частотой вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня (рис. 43). Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли = 50 мкТл. Найти разность потенциалов , возникающую на концах стержня.

Решение

При повороте на угол проводник описывает площадь , при этом он пересекает линий магнитной индукции, т. е. магнитный поток , где – вертикальная составляющая вектора магнитной индукции. Разность потенциалов на концах проводника ,

учитывая, что – угловая скорость, .

Получаем окончательную формулу

.

Подстановка числовых данных: , = 1м, Тл дает следующий результат: мВ.

Пример 5

Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из медной проволоки радиусом 0,15 мм и площадью поперечного сечения 3 мм² имеет длину 0,5 м. Сопротивление обмотки 10 Ом. Определите индуктивность соленоида. Удельное сопротивление меди 17 нОм∙м.

Решение

Индуктивность соленоида определяется по формуле

, (а)

где – магнитная постоянная; – магнитная проницаемость среды; = 1 (соленоид без сердечника); – число витков; – длина соленоида; – площадь сечения витка.

Сопротивление обмотки

, (б)

где – длина провода, – площадь сечения провода.

Выразим длину провода

. (в)

С другой стороны,

, (г)

где – длина одного витка,

следовательно,

, (д)

откуда следует

. (е)

Площадь сечения витка соленоида равна

(ж)

Подставим (е) и (ж) в формулу (а):

.

Пример 6 Резистор сопротивлением присоединён к верхним кольцам двух вертикальных медных стержней, отстоящих на расстоянии друг от друга. Стержни замкнуты медной перемычкой массы , которая может без трения скользить по ним (рис. 44). Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией , перпендикулярной плоскости, в которой расположены стержни. Перемычка начинает падать без нарушения электрического контакта. Найти установившуюся скорость перемычки. Принять индуктивность единицы длины системы стержней равной .

Решение

При падении перемычки увеличивается площадь контура и возрастает магнитный поток, следовательно, возникает эдс индукции и индукционный ток.

На движущийся проводник в магнитном поле действует сила Ампера: , где – индукция поля; – длина перемычки; – сила тока, – угол между направлением тока и вектором . По условию ( ), значит, .

Согласно правилу Ленца ток направлен от к , следовательно, сила Ампера направлена вверх, противоположно силе тяжести .

С ростом скорости увеличивается эдс индукции, индукционный ток и сила Ампера. Скорость перестанет возрастать при условии: , т. е.

. (а)

По закону Ома , где , – эдс индукции, возникающая при изменении магнитного потока вектора сквозь контур ; – эдс самоиндукции, возникающая при изменении сквозь контур магнитного потока, созданного индукционным током.

, где – переменная величина, – длина вертикальных стержней, измеренная на участке, по которому течет ток.

Тогда , если = const, то , поэтому .

; (б)

, откуда следует

. (в)

Из (а) и (в) получаем , откуда .