Методические рекомендации

1. Полная электромагнитная сила (сила Лоренца), действующая на заряд, определяется формулой (20). Данная формула справедлива как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей.

Эту силу разделяют на электрическую и магнитную составляющие. Если заряженная частица находится только в магнитном поле, то силу, определяемую выражением (18), обычно и называют силой Лоренца.

Важная особенность силы Лоренца – она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда и поэтому не совершает над зарядом работы. Следовательно, в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда постоянна.

Разделение полной электромагнитной силы на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета, так как магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой, а значит, меняется и электрическая составляющая.

2. Под действием силы Лоренца заряженные частицы движутся в магнитном поле по криволинейным траекториям. Характер движения частицы в магнитном поле зависит от угла между первоначальным направлением скорости движения частицы и направлением линий индукции магнитного поля.

· Если скорость частицы перпендикулярна линиям магнитной индуции, то частица движется по круговой траектории (рис. 23).

Радиус окружности траектории

;

Рис. 23

период вращения частицы по окружности:

где – масса частицы; – модуль скорости частицы; – модуль вектора индукции магнитного поля; – модуль электрического заряда.

· Если заряженная частица движется вдоль линий магнитной индукции, сила Лоренца на нее не действует и характер ее движения не меняется.

· Если угол между первоначальным направлением скорости частицы и линиями магнитной индукции не равен ни 0°, ни 90°, ни 180°, траектория движения частицы представляет собой винтовую линию, накручивающуюся на линии магнитной индукции (рис. 24).

Рис. 24

– тангенциальная составляющая скорости ; ;

– нормальная составляющая скорости; ;

– шаг винтовой линии; .

3. При движении заряженной частицы в области пространства, занятой одновременно и электрическим и магнитным полями характер ее движения зависит от направления этих полей и величины сил, действующих с их стороны, а также от скорости частицы.

► Векторы и взаимно-перпендикулярны и скорость положительно заряженной частицы перпендикулярна силовым линиям этих полей. В этом случае на частицу действуют две силы: электрическая и магнитная , которые могут быть как сонаправлены, так и противоположно направлены. Если силы противоположно направлены и равны по модулю (), то частица будет двигаться равномерно и прямолинейно, согласно первому закону Ньютона.

В случае если силы не уравновешивают друг друга, то движение частицы будет сложным: она будет двигаться с ускорением вдоль линии напряженности электрического поля и совершать вращательное движение вокруг линии индукции магнитного поля.

Если силы, действующие на движущуюся заряженную частицу сонаправлены, то движение частицы также будет представлять суперпозицию двух движений: прямолинейного с ускорением вдоль линий вектора и вращательного вокруг линий вектора .

► Частица влетает в область пространства параллельно векторам и . В этом случае на нее действует только электрическая сила (сила Лоренца , так как и ). Под действием этой силы частица движется прямолинейно с ускорением .

Примеры решения задач

Пример 1. Протон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 20 мкТл перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Сколько оборотов в секунду будет делать протон в магнитном поле?

Решение

На заряженную частицу в магнитном поле действует сила

, (а)

где – заряд частицы, – индукция магнитного поля, – скорость частицы, – угол между векторами и .

В данной задаче , значит протон будет двигаться в магнитном поле по окружности радиуса с центростремительным (нормальным) ускорением

(б)

По второму закону Ньютона

, (в)

где – масса частицы.

Приравнивая правые части выражений (б) и (в), с учетом формулы (а), получаем

, (г)

так как , то после небольшого преобразования получаем

. (д)

С другой стороны,

, (е)

где – угловая скорость.

Получаем

. (ж)

Приравняем правые части уравнений (д) и (л), получим

откуда выразим – частоту вращения, т. е. число оборотов в секунду,

. (и)

Размерность: .

Подставляем числовые значения в формулу (и):

Вычисления дают .

Пример 2.Электрон, имеющий скорость 8·10⁶ м/с, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 31,4 мТл под углом 30° к его направлению. Определите радиус и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться электрон (рис. 24).

Решение

Скорость разложим на две составляющие: тангенциальную , параллельную линиям индукции магнитного поля и нормальную , перпендикулярную им,

; (а)

. (б)

На электрон действует магнитная сила (благодаря нормальной составляющей скорости)

. (в)

Под действием этой силы электрон будет двигаться по окружности радиуса , который можно найти из условия:

, (г)

так как сила Лоренца является центростремительной силой.

Из формулы (г) получаем

, (д)

где – модуль заряда электрона; – масса электрона; – индукция магнитного поля.

Вдоль силовых линий поля магнитная сила не действует, поэтому частица движется прямолинейно с постоянной скоростью .

В результате суперпозиции двух движений электрон будет двигаться по винтовой линии радиусом и шагом винта :

, (е)

где – период движения по окружности,

. (ж)

С учетом формул (б), (д) и (ж), уравнение (е) принимает вид:

. (и)

Размерность: .

Подставляем числовые данные в выражение (и):

Вычисления дают:

Пример 3. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией 0,1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью 1·10⁵ В/м. Перпендикулярно обоим полям, не отклоняясь от прямолинейной траектории, движется заряженная частица. Найти скорость этой частицы (рис. 25). Решение Согласно условию задачи, частица движется равномерно и прямолинейно (). По первому закону Ньютона геометрическая сумма сил, действующих на частицу, равна нулю. В данном случае на частицу действует сила Лоренца , где – электрическая составляющая силы Лоренца, – её магнитная составляющая (рис. 25).

Следовательно, , т. е. электрическая и магнитная силы равны по модулю и противоположно направлены:

откуда скорость частицы равна:

Согласно условию (), поэтому

Размерность:

Подставляем числовые данные: .

Получаем при вычислении: .

Пример 4. Электрон влетает со скоростью 600 м/с в область пространства, где имеются сонаправленные однородные электрическое и магнитное поля, под углом 60° к силовым линиям полей. Напряженность электрического поля 0,2 кВ/м, индукция магнитного поля 20 мТл. С каким ускорением станет двигаться электрон в этой области пространства? (рис. 26). Решение Согласно второму закону Ньютона, ускорение электрона имеет вид: , где – сила Лоренца, действующая на электрон со стороны электрического и магнитного полей; – масса электрона. Сила Лоренца определяется по формуле

где – электрическая составляющая силы Лоренца; – её магнитная составляющая (рис. 26).

Вектор направлен противоположно вектору , так как заряд электрона отрицательный. Вектор магнитной силы перпендикулярен вектору магнитной индукции. Следовательно, векторы и взаимно-перпендикулярны.

Модуль силы находится по теореме Пифагора:

где – модуль заряда электрона (элементарный заряд).

Ускорение

Направление совпадает с направлением вектора , определяемом по правилу сложения векторов.

Подставим числовые значения:

= 600 м/с; = 60°; = 0,2 кВ/м = 200 В/м; = 20 мТл = 2·10^-2 Тл; = 1,6 ·10^-19 Кл; = 9,11·10^-31 кг.

Вычисления дают: = 3,5 ·10¹³ м/с².

Пример 5.Шарик массой , заряженный положительным зарядом и подвешенный на нити длиной , движется по окружности в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией. Определите кинетическую энергию шарика, если во время движения нить образует угол с вертикалью.

Решение

Выберем систему отсчета x0y, начало которой поместим в ту точку пространства, где находится шарик в начальный момент времени. Предположим, что нить – невесома, нерастяжима и неэлектропроводна. Заряженный шарик примем за материальную точку. Заряд шарика будем считать точечным.

На шарик действуют сила тяжести , сила натяжения нити и сила со стороны магнитного поля (рис. 27).