Методические рекомендации

1. Магнитный момент совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура. Положительное направление нормали определяется правилом буравчика: если рукоятка вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение штопора показывает положительное направление вектора .

2. Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным (определяется выбором положительного направления нормали ). Магнитный поток связывают с контуром, по которому течет ток. Как указано в п. 1, положительное направление нормали связывается с током правилом правого винта. Магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

3. Для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности выполняется условие:

–

эта формула выражает теорему Остроградского – Гаусса для вектора .

4. Формула (17) позволяет определить работу, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током в магнитном поле. Для нахождения работы силы Ампера при полном перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного 2 интегрируем выражение (17):

Если при перемещении ток поддерживается постоянным, то

где и – магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.

Примеры решения задач

Пример 1.Прямоугольная рамка, состоящая из 20 витков, помещена во внешнее однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл. Вектор магнитной индукции составляет b 60° с плоскостью рамки. Определите магнитный момент рамки и силу тока в ней, если на рамку с током в магнитном поле действует механический момент 0,02 Н·м. Стороны рамки:
= 5 см, = 10 см.

Решение

Механический момент, действующий на рамку с током, помещенную в однородное магнитное поле,

где – вектор магнитной индукции, – магнитный момент рамки с током.

Модуль вектора :

– угол между вектором и нормалью к контуру; .

Так как рамка состоит из витков, то .

Тогда . (а)

Магнитный момент рамки с током имеет вид:

, где – площадь рамки.

Следовательно, , откуда следует:

; (б)

Подставляем в формулы (а) и (б) числовые данные:

= 5 см = м; = 10 см = 0,1 м; = 20; = 0,02 Н·м; = 30°.

Вычисления дают: А·м²; = 2 A.

Пример 2.Принимая, что электрон в атоме водорода движется по крутой орбите (рис. 16), определите отношение магнитного момента эквивалентного магнитного тока к моменту импульса орбитального движения электрона. Решение Движущийся в атоме по круговой орбите электрон эквивалентен круговому току, значит он обладает орбитальным магнитным моментом , где – сила тока, – заряд электрона, – частота вращения электрона по орбите, – площадь контура, – единичный вектор нормали.

Модуль вектора имеет вид:

– площадь поверхности, описанной электроном при движении.

Движущийся электрон обладает также орбитальным механическим моментом

– масса электрона, – скорость электрона, – радиус орбиты.

Скорость, где – циклическая частота.

Учитывая, что , получаем .

Отношение орбитальных моментов:

. (а)

Направление векторов и определяются правилом правого винта (см. рис. 16).

Подставим в формулу (а) числовые значения: Кл; кг.

Вычисления дают: Кл/кг

Пример 3.По тонкому стержню длиной = 20 см равномерно распределен заряд = 240 нКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить: 1) магнитный момент , обусловленный вращением заряженного стержня;
2) отношение магнитного момента к моменту импульса, если стержень имеет массу = 12 г.

Решение

Элемент стержня имеет заряд , где – линейная плотность заряда, .

При вращении заряда вокруг оси возникает эквивалентный круговой ток , где – период вращения, , следовательно, .

Магнитный момент эквивалентного тока будет , – площадь поверхности, описываемой зарядом при вращении, тогда .

Полный магнитный момент , создаваемый при вращении стержня, имеет вид: .

Момент импульса стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен , где – момент инерции стержня относительно оси. Следовательно, .

Отношение .

Подставляя числовые значения = 20 см =0,2 м; = 240 нКл = = 2,4·10^-7 Кл; рад/с; = 12 г = 12·10^-3 кг, получаем:

; = 10^-5.

Пример 4

Плоский контур, площадь которого равна 23 см², находится в однородном магнитном поле с напряженностью 3,18·104 А/м. Определить магнитный поток, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол = 30° с линиями индукции.

Решение

Магнитный поток имеет вид:

где – угол между вектором и нормалью к контуру, ;
– индукция магнитного поля ; – магнитная постоянная.

Следовательно, . Подставим числовые значения: Вычисления дают: = 5·10^-5 Вб = 50 мкВб.

Пример 5.В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом, по которому течет ток = 10 A, расположена квадратная рамка со стороной = 15 см. Определите магнитный поток , пронизывающий рамку, если две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей стороны рамки составляет 2 см.

Решение

Магнитный поток сквозь поверхность равен: . Квадратная рамка находится в неоднородном магнитном поле, индукция которого меняется с расстоянием по закону: , где – расстояние от рассматриваемой точки до провода.

Площадь рамки разобьем на элементарные площадки шириной , площадью , в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной (рис. 18).

Магнитный поток сквозь элементарную площадку определяется соотношением

Проинтегрируем выражение в пределах от до , получаем:

Подставим числовые значения, ; = 10A; = 15 cм; = 2 см = 2·10^-2 м.

Вычисления дают: = 0,64 мкВб.

Пример 6.Круговой проводящий контур радиусом = 5 см и током = 1 А свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией = 20 мТл. Определить работу по повороту контура на угол относительно оси, совпадающей с диаметром контура.

Решение

По условию контур свободно установился в магнитном поле, следовательно, вектор совпадает по направлению с вектором (=0°) (рис. 19, а).

Магнитный поток сквозь поверхность контура равен:

После поворота контура угол между вектором и нормалью будет 90° (= 90°) (рис. 19, б), поэтому магнитный поток сквозь контур

Рис. 19

Работа сил поля по повороту контура определяется выражением

(ток в контуре считаем постоянным)

Площадь кругового контура ,

тогда .

Подставляем числовые значения:

Знак «минус» означает, что работу совершают внешние силы.

Пример 7

По двум вертикальным параллельным рельсам может двигаться стержень массой , изготовленный из материала плотностью . Площадь поперечного сечения стержня равна . Рельсы расположены в горизонтальном магнитном поле индукцией , вектор индукции которого направлен за чертеж.

При пропускании тока силой проводник движется равноускоренно по рельсам вверх без начальной скорости. Определить работу силы Ампера по перемещению проводника за время . Явлением электромагнитной индукции и трением о рельсы пренебречь. На стержень, по которому течет ток, в магнитном поле действует сила Ампера , направленная вверх (согласно правилу левой руки). Кроме того, на стержень действует сила тяжести , направленная вертикально вниз (рис. 20). По условию стержень движется равноускоренно вверх, значит, . Работа силы Ампера: ,