Ключевые понятия

Дифференциальное уравнение. Порядок дифференциального уравнения. Интегральная кривая. Общее и частное решения дифференциального уравнения. Общий и частный интегралы дифференциального уравнения. Задача Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.

1. Основные понятия теории
дифференциальных уравнений

Пусть F: – непрерывная функция. Соотношение

,

(1)

связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию и ее производные (наличие хотя бы одной производной обязательно), называется дифференциальным уравнением.

Если уравнение (1) можно записать в виде

,

(2)

где f : – известная функция, то будем говорить, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной . Оно называется дифференциальным уравнением в нормальной форме.

Дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция у зависит от одной переменной х, называется обыкновенным (ОДУ). Если же дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, то оно называется уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения n-го порядка называется любая функция, которая задана на промежутке, имеет на этом промежутке производную порядка n и обращает уравнение в верное равенство в каждой точке данного промежутка.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Решение может быть задано в неявном виде . В этом случае его называют интегралом дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция

,

(3)

зависящая от х и n произвольных независимых постоянных , обращающая это уравнение в тождество. Заметим, что число произвольных постоянных равно порядку дифференциального уравнения.

Общее решение, заданное в неявном виде

,

называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, которое получается из (3), если придать определенные значения произвольным постоянным, т. е.

,

где – фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем фиксирования произвольных постоянных

,

где – фиксированные числа.

В общем случае дифференциальное уравнение может не иметь решения. Поэтому есть ряд теорем существования, которые накладывают условия на правую часть дифференциального уравнения, при выполнении которых решение существует.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

.

(4)

Если это уравнение разрешимо относительно , то

.

(5)

Следовательно, общим решением дифференциального уравнения (4) называется функция

,

зависящая от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

,

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра С. Частное решение и частный интеграл имеют соответственно вид:

; .

Уравнение имеет бесконечное число решений. Чтобы из этого множества решений выделить одно, т. е. частное решение, надо задать некоторые дополнительные условия. Таким условием, определяющим частное решение, является начальное условие, или условие Коши:

,

(6)

где х₀ – заданный элемент из области определения.

Задача отыскания частного решения уравнения (5), удовлетворяющего начальному условию (6), называется задачей Коши для этого уравнения.

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

,

(7)

где – непрерывная на некотором промежутке функция.

Решение ОДУ (7) находится интегрированием левой и правой частей (7):

.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение и построить семейство интегральных кривых.