Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

а) ”Универсальная тригонометрическая подстановка”.

Рассмотрим интеграл вида где R-рациональная функция.

б) Если R-нечетное относительно sinx, то есть R(-sinx,cosx)=-R(sinx, cosx), тогда R=R₁(sin²x,cosx)·sinx, R=R₁(1-cos²x,cosx)·sinx и замена t=cosx.

в) R-нечетное, относительно cosx, тогда R=R₂(sinx, cos²x)·cosx, R=R₂(sinx 1- sin²x)·cosx и замена t=sinx.

г) R-четное, относительно sinx иcosx, тогда замена

Замечание: где

1. m, n – одно из целых чисел нечетное;

2. m и n – четные положительные;

3. m и n – четные, но хотя бы одно из них отрицательно.

д)

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ №2

Задание №1. Построить график функции ,

исследовав ее на непрерывность

Решение.

D(y) = R

1) Исследуем функцию в точке х = 1.

f(1)=2 – функция непрерывна в точке 1.

2) Исследуем функцию в точке х = 3.

f(3)=6 – в точке х = 3 разрыв первого рода.

Во всех других точках области определения функция непрерывна.

Построим график исследуемой функции.

Задание №2. Найти пределы:

а). ; б). ;

в). ; г). .

Решение.

а). Используем первый замечательный предел.

;

б). ;

в). ;

г). Используем второй замечательный предел.

.

Задание №3. Найти производные:

Решение.

.

Используем производную произведения, суммы и производную сложной функции.

;

Задание №4. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

при .

Решение.

; .

;

;

;

;

;

.

Задание №5. Найти интегралы:

№ 1 № 2 № 3

№ 4 № 5 № 6 .

№ 7 № 8 № 9

Решение.

№1. Применим непосредственное интегрирование.

.

№2. Применим непосредственное интегрирование.

.

№3. Применим непосредственное интегрирование.

.

№4. Применим интегрирование заменой переменной.

.

№5. Применим интегрирование заменой переменной.

.

№6. Применим интегрирование заменой переменной.

.

№7. Применим интегрирование по частям.

.

№8. Применим интегрирование рациональных дробей.

.

.

№9. Применим интегрирование тригонометрических выражений.

.

Варианты КОНТРОЛЬНОго ЗАДАНИя №2 «Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной»

Задание №1. Построить график функции, исследовав ее на непрерывность.

Задание №2.Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .	а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .	а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) в) ; г) .	а) . б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .	а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .	а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .	а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) г) .	а) ; б) ; в) г) .
а) ; б); в) ; г) .

Задание №3.Найти производные: