Значения величин переменного тока, векторные диаграммы.

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи тоже синусоидальны:

i=I_m sin(ωt+ψ_i) ),

где ω – угловая частота, ψ_i – начальная фаза тока, I_m – максимальное значение (амплитуда) тока.

Средним значением синусоидального называют его среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю:

Icp = 2/t*∫ (от 0 до t/2) I dt = 2/t* ∫ (от 0 до t/2) Im sin(ωt) dt = 2Im/π.

Если в резистивном элементе с сопротивлением R при постоянном и синусоидальном токах за одинаковый интервал времени выделяется одинаковая энергия, то такое значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока.

За интервал времени один период Т в резистивном элементе с сопротивлением R выделяется энергия при синусоидальном токе.

W_~= ∫ (от 0 до t/2) Ri² dt,

При постоянном токе: W₌ = R I² T.

Приравняв их мы получим действующее значение тока: I = √1/Т ∫ (от 0 до t/2) i^2 dt.

I =√1/Т ∫ (от 0 до t/2) Im^2 sin² ωt dt = Im √1/Т ∫ (от 0 до t/2) 1-cos2ωt/2 dt = Im/√2.

Аналогичны для любой синусоидальной величины соотношения.

Синусоидальную величину можно представить вращающимся вектором, комплексным числом (для того чтобы представить синусоидальную величину а=Аm sin(ωt +ψ) с начальной фазой ψ_а комплексным числом, проведем на комплексной плоскости из начала координат под углом ψ_а к оси действительных значений вектор длина которого в масштабе построения равна амплитуде А_m величины, конец этого вектора находится в точке которой соответствует комплексное число – комплексная амплитуда синусоидальной величины Ả_m = A_m e^j* ψ_а. Ả_m = A_m e^j*(ωt+ψ_а) = A_m cos (ωt+ψ_а) + j A_m sin (ωt + ψ_а), величина мнимой части вращающегося вектора равна заданной синусоидальной величине. Применяется три формы записи комплексного действующего значения синусоидальной величины):

1. показательная (Ả= A e^j* ψ_а),

2. тригонометрическая (Ả = А cos ψ + jA sin ψ),

3. алгебраическая Ả = Re Ả + jIm Ả

e^(±j ψ_i)= cos ψ_a + j sin ψ_a. – формула Эйлера

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь ею сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.