Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл 
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).
Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z1, z2, ..., zN. Составим для f(x) интегральную сумму σ.
Пусть из точек ξ0, ξ1, ..., ξn-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками zi, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(zi) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,
| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,
откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл
существует и равен нулю.
Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:
Если мы, составляя сумму σ, за точки ξk выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξk взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл
не существует.
