(Опр.) Конденсатором называется система, состоящая из двух проводников, между которыми возникает изолированное от внешних тел электрическое поле при сообщении проводникам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов.
Поясним, прежде всего, смысл термина «изолированное» в данном контексте. Здесь под ним понимается требование, чтобы все линии напряжённости начинались на одном проводнике и заканчивались на другом независимо от того, есть ли какие-либо иные заряженные или не заряженные тела вблизи конденсатора. Такое условие может быть реализовано только в том случае, когда проводники располагаются напротив друг друга на очень малом (по сравнению с их размерами) расстоянии. В этом случае проводники обычно называют «обкладками» конденсатора. В такой ситуации поле практически не выходит за пределы малой области между обкладками. Как раз поэтому, на него и не влияет «окружение» – поле изолировано. Почему это важно мы отметим чуть ниже.
Из школьного курса вам известен в основном «плоский конденсатор». Как можно догадаться из названия, он представляет собой две плоскопараллельные пластинки, разделённые тонким диэлектрическим зазором. Но существуют и другие конденсаторы, например, цилиндрические, сферические, … Возможны (и на практике применяются!) и иные формы обкладок – см. рис. 4…. Для них, по-прежнему, важна малость расстояния между обкладками.
Для чего же нужны конденсаторы и откуда такое название? Они нужны, чтобы копить (конденсировать) электрический заряд, электрическую энергию и, конечно, то, что с ними неразрывно связано – электрическое поле. Как охарактеризовать эту способность к накоплению? Способность сосудов к «накоплению» жидкости характеризуют её ёмкостью – мы говорим, например: «этот кувшин имеет ёмкость 2 литра, а эта бутылка – 0,75 литра». При этом мы имеем в виду, что в них требуется залить соответствующий объём определённой жидкости, чтобы уровень достиг фиксированной метки. Аналогично этому вводится и понятие «электроёмкости». Мы выясняем, какой заряд (сколько «электрической жидкости») следует сообщить обкладкам конденсатора, чтобы разность потенциалов между ними стала равна единице (в системе единиц СИ это 1 В). Дадим определение и обоснуем его однозначность.
(Опр.) Электроёмкостью конденсатора называется отношение модуля заряда каждой из его обкладок к разности потенциалов между ними.
В аналитической форме это выглядит так:
. (4.5)
Здесь j1– j2– разность потенциалов между ними, причём из потенциала положительной обкладки вычитается потенциал отрицательной (т.е. эта разность – положительная величина). А обозначение q – как и было отмечено выше, означает модуль заряда каждой из обкладок конденсатора.
Теперь поясним, почему данная характеристика является однозначно определяемой и зачем нам, собственно, понадобилось требование изолированности поля внутри конденсатора. Запишем для этого как можно рассчитать разность потенциалов между обкладками конденсатора после сообщения им «равных по модулю и противоположных по знаку зарядов»:
.
Это справедливо для любого электростатического поля и любой траектории, начинающейся на положительной (1) и заканчивающейся на отрицательной (2) обкладке конденсатора. Если поле изолировано, то на него не влияют окружающие конденсатор тела, и оно полностью определяется «геометрическими факторами» (формой и размерами обкладок, расстоянием между ними) и зарядом обкладок. Более того, можно утверждать, что в этом случае в каждой точке поля его напряжённость пропорциональна заряду q на обкладках. Поэтому можно констатировать и такую пропорциональность:
~ заряд на обкладках (q).
Но ведь это означает, что разность потенциалов между обкладками данного конденсатора строго пропорциональна сообщённому ему заряду. Коэффициент пропорциональности как раз и есть величина обратная его электроёмкости:
. (4.6)
Откуда и следует корректность данного выше определения: C = q/(j1–j2).
Чем определяется (от чего зависит) электроёмкость конденсатора? Из только что проведённого анализа следует, что это, прежде всего, вышеотмеченные «геометрические факторы»:
1. размеры обкладок;
2. форма обкладок;
3. расстояние между ними.
Есть и ещё один важный фактор, влияющий на электроёмкость:
4. диэлектрическая проницаемость изолятора между обкладками e.
Пока что мы ввели эту величину достаточно формально. Можно считать, что она равна как раз отношению электроёмкости конденсатора, заполненного однородным диэлектриком к электроёмкости воздушного (строго говоря, незаполненного) конденсатора:
(4.7)
Можно ли рассчитать электроёмкость конденсатора, зная его «геометрию» и e ? В аналитической форме результат может быть получен лишь для некоторых простейших (хотя и наиболее актуальных) случаев, характеризующихся определённой симметрией – для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов. Какова процедура расчёта электроёмкости конденсатора в каждом конкретном случае?
ü 1. Прежде всего, надо определить напряжённость поля в области пространства между обкладками . Поскольку речь идёт только о выше оговоренных типах конденсаторов, для этого удобно применить теорему Гаусса.
ü 2. Найти разность потенциалов между обкладками можно теперь, используя соотношение и, выбрав для этого простейшую траекторию движения от положительной обкладки (1) к отрицательной (2) – вдоль силовой линии. Как мы уже с вами знаем из анализа понятия электроёмкости конденсатора (см. 4.6) результатом обязательно будет величина пропорциональная заряду обкладок q.
ü 3. Воспользоваться определением электроёмкости конденсатора, поделив модуль заряда обкладок q на полученный в предыдущем пункте результат для разности потенциалов j1 – j2.
Пример. Покажем, как реализовать на практике эту программу действий на примере расчёта электроёмкостиплоского конденсатора.
ü 1. Плоский конденсатор, как мы хорошо помним из школьного курса, состоит из двух плоскопараллельных проводящих пластин разделённых тонким диэлектрическим зазором. На первый взгляд теорема Гаусса не годна для определения напряжённости поля в области пространства между обкладками в такой система – ведь очевидно, что такое поле существенно несимметрично по отношению к каждой из заряженных пластин. Выбрать поверхность, соответствующую требованиям, о которых мы говорили, обсуждая применение теоремы Гаусса (см. п. 4.4), не представляется возможным. Всё, однако, меняется, если мы уберём на время одну из пластин, а оставшуюся будем считать «бесконечной плоскостью» (на практике – тонкой пластиной очень большой площади). Процедуру применения теоремы Гаусса для этого случая проведём по «укороченной схеме» – надеюсь, вы хорошо её уже освоили на наших практических занятиях.
Начнём, как обычно, с рисунка, и большую часть необходимой «работы» проиллюстрируем именно на нём – см. рис. 4.4. Поток вектора напряжённости через выбранную нами замкнутую поверхность прямого кругового цилиндра S равен:
Заряд, оказавшийся внутри этой поверхности равен s·Sосн.. В соответствии с теоремой Гаусса приравниваем:
и получаем отсюда значение напряжённости поля:
(4.8)
Как видим, напряжённость не зависит от координаты х – расстояния от заряженной плоскости, т.е. это поле является однородным. Конечно же, это соответствует лишь гипотетическому случаю «бесконечной заряженной плоскости». В реальности таких бесконечных зарядов быть не может – практически это означает, что полученный нами результат (4.8) будет справедлив на небольших расстояниях от заряженной плоскости.
Теперь вернёмся к вопросу о поле между обкладками плоского конденсатора. Оказывается это поле совсем нетрудно определить, используя принцип суперпозиции. Проиллюстрируем его применение на рисунке – см. рис. 4.5. Изобразим силовые линии полей, созданных каждой из пластин по отдельности. Видно, что между пластинами напряжённости полей совпадают по направлению, а вне этой области направлены в противоположные стороны. Поскольку заряды пластин q равны по модулю (а значит и плотности зарядов s), то равны по модулю и напряжённости. А это означает, что поля снаружи взаимно уничтожают друг друга и напряжённость результирующего поля равна нулю. Напротив, в области между пластинами направление полей совпадают и результирующая напряжённость оказывается вдвое больше, чем у поля одной пластины. Обобщим эти выводы:
Здесь для придания векторного характера нашим записям мы использовали обозначение – единичный вектор направления поля положительной пластины в области между обкладками конденсатора (можно было бы использовать также и обозначение ). Выпишем ещё раз результат уже только для модуля напряжённости:
(4.9)
ü 2. Чтобы найти разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора выберем траекторию вдоль любой силовой линии, а значит и вдоль оси ОХ, от положительной обкладки до отрицательной. Получим:
ü 3. Теперь остаётся только воспользоваться определением электроёмкости конденсатора и очевидным соотношением между зарядом пластин, их площадью и поверхностной плотностью заряда s = q/S:
Сократив на q, мы получаем электроёмкость «воздушного» плоского конденсатора. Учтём ещё, что электроёмкость конденсатора, заполненного однородным диэлектриком, как следует из соотношения (4.7), равна электроёмкости воздушного конденсатора умноженной на диэлектрическую проницаемость e. Окончательно получаем хорошо знакомую со школы «формулу» для электроёмкости плоского конденсатора:
(4.10)
где S – площадь обкладок конденсатора, а d – расстояние между ними.
(Опр.) Конденсатором называется система, состоящая из двух проводников, между которыми возникает изолированное от внешних тел электрическое поле при сообщении проводникам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов.
. (4.5)
.
~ заряд на обкладках (q).
. (4.6)
(4.7)
. Поскольку речь идёт только о выше оговоренных типах конденсаторов, для этого удобно применить теорему Гаусса.
и, выбрав для этого простейшую траекторию движения от положительной обкладки (1) к отрицательной (2) – вдоль силовой линии. Как мы уже с вами знаем из анализа понятия электроёмкости конденсатора (см. 4.6) результатом обязательно будет величина пропорциональная заряду обкладок q.
Начнём, как обычно, с рисунка, и большую часть необходимой «работы» проиллюстрируем именно на нём – см. рис. 4.4. Поток вектора напряжённости через выбранную нами замкнутую поверхность прямого кругового цилиндра S равен:
и получаем отсюда значение напряжённости поля:
(4.8)
Здесь для придания векторного характера нашим записям мы использовали обозначение – 
единичный вектор направления поля положительной пластины в области между обкладками конденсатора (можно было бы использовать также и обозначение 
). Выпишем ещё раз результат уже только для модуля напряжённости:
(4.9)
(4.10)