Поле заряженного проводника

Для определённости будем считать проводник металлическим. Внутри такого проводника всегда есть огромное количество свободных электронов – порядка 10²³ в каждом кубическом сантиметре! Рассмотрим, прежде всего, к чему приводит установление равновесия зарядов внутри заряженного проводника. Сформулируем основные следствия в форме отдельных утверждений.

· 1. Напряжённость электрического поля в проводниках равно нулю

Появление в любой области внутри проводника электрического поля вызовет немедленное «перетекание» свободных заряженных частиц (электронов) – электрический ток. Их пространственное перераспределение происходит ровно до тех пор, пока средняя напряжённость поля не обратится в ноль – т.е. пока поле внутри проводника не исчезнет. Отметим, что по времени всё это занимает лишь мизерные доли секунды!

· 2. Потенциал всех точек проводящего тела одинаков

Т.е. в условиях электростатики проводник является эквипотенциальным телом (j = const). Откуда это следует? Вспомним о взаимосвязи напряжённости и потенциала . Поскольку всюду внутри проводника, равен нулю и градиент потенциала. Это и означает его постоянство.

· 3. Весь избыточный заряд проводника распределён по его поверхности

Иначе говоря, полный заряд любой макроскопической области внутри проводника равен нулю. Это утверждение легко обосновать, используя теорему Гаусса. Выберем замкнутую поверхность S в виде поверхности охватывающей всю внутреннюю область проводника за исключением тонкого приповерхностного слоя (толщиной порядка 10^-9 м или 1 нм). Поскольку в любой точке внутри проводника , поток вектора напряжённости через выбранную поверхность также равен нулю: . Но ведь согласно теореме Гаусса поток пропорционален заряду внутри поверхности. Отсюда и следует равенство нулю полного заряда. Конечно, это не означает отсутствия внутри проводника заряженных частиц, просто заряд частиц разного знака точно скомпенсирован!

· 4. Вне проводника силовые линии электростатического поля вблизи от его поверхности перпендикулярны к ней

Мы ведь знаем, что линии напряжённости всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, которые они пересекают или подходят к ним. Поверхность проводника как раз и является таковой, ведь весь проводник – эквипотенциальное тело.

· 5. Напряжённость поля заряженного проводника вблизи поверхности пропорциональна поверхностной плотности заряда

Докажем прежде всего, что напряжённость поля заряженного проводника вблизи поверхности определяется поверхностной плотностью избыточного заряда s. Выделим для этого малый элемент поверхности заряженного проводника и применим для него теорему Гаусса. Поскольку элемент мал, то можно считать его плоским, а плотность заряда s постоянной. Замкнутую поверхность S, охватывающую элемент, удобно выбрать в виде прямого цилиндра, основания которого параллельны элементу – одно из них располагается вне тела на малом расстоянии от поверхности, а другое внутри. Поскольку вне проводника поле перпендикулярно поверхности, а внутри его просто нет, то поток вектора напряжённости вычисляется очень легко:

.

Полный заряд, оказавшийся внутри поверхности S, равен, очевидно, произведению поверхностной плотности заряда s на площадь поверхности элемента . Поэтому по теореме Гаусса можем записать:

Отсюда после сокращения на dSполучаем результат:

(4.1)

Напряжённость вблизи поверхности уединённого заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности заряда.

Очевидно, эта связь имеет локальный характер и нам стоит поинтересоваться вопросом – а чем же определяется само распределение заряда по поверхности заряженного проводника?

· 6. Плотность поверхностного заряда проводника зависит от её кривизны

Попробуем лишь качественно подобраться к прояснению этого вопроса. Для этого заменим реальное проводящее тело произвольной формы (с различной кривизной поверхности) его грубой моделью. Пусть минимальная кривизна поверхности проводника равна R₁, а максимальная R₂. Тогда наша модель будет состоять из двух проводящих шаров с радиусами R₁и R₂, соединённых тонким проводящей проволокой. Если расположить шары далеко друг от друга, то можно считать, что избыточный заряд по их поверхности будет распределён равномерно. Запишем систему уравнений, сопроводив их краткими пояснениями:

Подстановка первых двух соотношений в последнее равенство даёт:

Откуда получаем после очевидных сокращений:

Мы видим, что поверхностная плотность заряда оказалась обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности:

s ~ (4.2)

Если учесть, что напряжённость вблизи поверхности заряженного проводника прямо пропорциональна s, то можно сделать вывод, что она зависит от кривизны поверхности так же:

Е ~ (4.3)

v Замечания

1.Подчеркнём ещё раз, что мы лишь качественно выявили зависимость, по которой можно сравнивать s (а значит и Е)для участков поверхности с разной кривизной в пределах одного проводящего тела. В соотношениях (4.2) и (4.3) радиус кривизны следует считать положительной величиной для выпуклых поверхностей. Для вогнутых же поверхностей, хотя формально радиус кривизны отрицателен, поверхностная плотность заряда, а значит и поле вблизи поверхности равны нулю. Очень большой (бесконечный) радиус кривизны поверхности соответствующий плоским её участкам означает лишь меньшую поверхностную плотность заряда по сравнению с выпуклыми участками, а вовсе не обращение её в ноль.

2.Очень малые значения радиусы соответствуют большой кривизне поверхности и характерны для заострённых её участков. На таких участках – остриях» – скапливается основная часть заряда проводника. Поэтому вблизи острия может быть реализована экстремально большая напряжённость электрического поля, усиливающая все «полевые эффекты». Например, может наблюдаться т.н. «ионный ветер». Первый в истории микроскоп, в который позволил «увидеть» атомы, т.е. было достигнуто предельное разрешение порядка 10^-10 м – «ионный проектор» – использовал именно эту особенность проводящего острия. Она же используется и в самых современных приборах с атомным разрешением – «туннельном» (СТМ) и «атомно-силовом» микроскопах (АСМ).