Теоретические сведения

Расчет цепи синусоидального тока, состоящей из последовательно соединенных элементов RLC (рис1), основывается на законе Ома.

Рис 1

Уравнение закона Ома для действующих значений тока и напряжения имеет вид:

I=U/Z, (1.1)

где I,U - действующие значения тока и напряжения;

Z – полное сопротивление:

Z=√(R²+X²), (1.2)

где X – реактивное сопротивление:

X=X_L-X_C (1.3)

где X_L – индуктивное сопротивление;

X_L=wL (1.4)

X_C – емкостное сопротивление.

X_C=1/(wC) (1.5)

где w – циклическая частота

w=2πf (1.6)

L,C – индуктивность катушки и емкость конденсатора соответственно.

Полное сопротивление Z, активное R и реактивное X соотносятся между собой, как стороны прямоугольного треугольника, который получил название треугольник сопротивлений.

Из треугольника сопротивлений Рис.2 можно выразить угол сдвига по фазе между напряжением и током

Из треугольника Рис.2 следует что

R=Zcosφ

X=Zsinφ

Если цепь содержит не по одному элементу R, L, C включенных последовательно, а несколько, то вначале определяют эквивалентное сопротивление

R_экв=R₁+R₂+…+R_n, (1.7)

эквивалентное индуктивное сопротивление

X_L_экв=X_L₁+X_L₂+…+X_Ln, (1.8)

эквивалентное емкостное сопротивление

X_C_экв=X_C₁+X_C₂+…+X_Cn, (1.9)

а затем, в соответствии с (1.2) и (1.3) находят полное сопротивление Z.

Для наглядности расчет цепи часто сопровождают построением диаграммы тока и напряжений. При построении диаграммы необходимо помнить, что на активном сопротивлении R напряжение и ток совпадают по фазе, на индуктивности L напряжение опережает ток на угол φ=90⁰, на емкости C напряжение отстает от тока на угол φ=-90⁰. По этой причине второй закон Кирхгофа выполняется только для комплексных значений напряжений и не выполняется для действующих значений.

Пример решения

На схеме, приведенной на рис.1, определить: токи в цепи, построить векторную диаграмму тока и напряжений, построить треугольник сопротивлений, если R=30 Ом; L=80мкГн, C= 16,7 мкФ, U=141sin1000t.

Находим сопротивление переменному току индуктивности

X_L=ɷL; X_L=1000*0.08=80 Ом;

Находим сопротивление переменному току емкости

X_C=1/(ɷC); X_C=1/(1000*16.7*10^-6)=60 Ом;

Находим реактивное сопротивление цепи

X= X_L-X_C; X=80-60=20 Ом;

Находим действующее напряжение

U=U_m/√2; U=141/√2=100 В;

Находим полное сопротивление цепи переменного тока

Z=√(R²+X²), Z=√(30²+20²)=36 Ом;

Строим треугольник сопротивлений рис.3, для этого задаемся масштабом для сопротивлений 1см=10 Ом.

Находим действующее значение тока в цепи

I=U/Z; I=100/36=2.8 А.

Для построения векторной диаграммы определяем напряжение на отдельных элементах цепи.

U_R=I*R; U_R=2.8*30=84 В;

U_L=I*X_L; U_L=2.8*80=224 В;

UC=I*X_C; U_C=2.8*60=168 В;

Векторную диаграмму строим в следующем порядке рис.4:

- произвольно направляем вектор тока;

- по отношению к вектору тока откладываем в масштабе векторы напряжений на элементах цепи: на R – совпадающим с током;

на L – опережающим на угол 90⁰;

на C – отстающим на угол 90⁰.

Задаемся масштабом для тока 1см=1.4 А;

Задаемся масштабом для напряжений 1см=28 В