Краткие сведения из теории

Колебательные процессы (осцилляции) в электрических контурах имеют аналогии в механике. Поведение простейшего осциллятора – одиночного маятника, представляющего собой массу, подвешенную на длинном стержне, хорошо изучено: это гармонические колебания с частотой .

Существенно более сложную структуру при колебаниях представляет собой система двух одинаковых маятников, связанных между собой слабой пружиной, как это показано на рис. 22.1. Маятники будут участвовать в коллективных колебаниях, амплитудно-частотная характеристика которых зависит от фазы смещения маятников относительно друг друга
(относительная фаза).

Если оба маятника имеют вначале (при t = 0) равные смещения, то они будут колебаться как единое целое с постоянной амплитудой и частотой, равными частоте и амплитуде колебаний одиночного маятника . Если при
t = 0 имеются равные и противоположные амплитуды, то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но с некоторой другой, слегка повышенной по отношению к , частотой . Эти два вида движения называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов, причем вид колебаний с частотой называют четной модой нормальных колебаний и обозначают знаком «+»( ₀), а вид колебаний с повышенной частотой – нечетной модой нормальных колебаний и обозначают знаком «-» ( ). Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой движущейся частицы системы остаётся неизменной. В более сложных случаях, когда при имеется относительный сдвиг фаз, результирующее движение можно рассматривать как комбинацию (суперпозицию) двух нормальных мод колебаний, как амплитудно-модулированное колебание.

С суперпозицией гармонических колебаний разных частот приходится встречаться в самых разнообразных явлениях. Примером могут служить не только маятники, но и два звучащих камертона с разными собственными частотами, причем наиболее интересным образом проявляется «смесовая» природа коллективных колебаний, когда частоты колебаний камертонов мало отличаются друг от друга. В этом случае человеческое ухо наиболее явственно воспринимает результирующее колебание как гармоническое колебание с переменной амплитудой, т.е. ухо слышит музыкальный тон, интенсивность которого периодически меняется с частотой и периодом . Такой вид суперпозиции гармонических колебаний (при , но и ) иллюстрирует рис. 22.2. Само это явление называется биениями, а величины и – периодом и частотой биений соответственно.

Рис. 22.2

В системе двух связанных слабой пружиной маятников биения могут установиться, если сместить один из них (например, маятник 1, слева на рис. 22.1), удерживая другой на месте, а затем отпустить их одновременно. В этом случае маятник 1 начинает колебаться один, но с течением времени колебания маятника 2 будут постоянно нарастать, а маятника 1 – затухать. Через некоторое время
маятник 2 испытает сильные колебания, а маятник 1 остановится.
В случае четной моды нормальных колебаний маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же, как у одиночного маятника. В случае нечетной моды колебаний пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды. Если в какой-то момент времени смещен только один из маятников, то возникают две нормальные моды колебания, находящегося в определенной относительной фазе. Но поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного, относительная фаза изменяется в процессе коллективного колебания. Амплитуда колебаний первого маятника оказывается равной нулю, а амплитуда второго достигает максимума, когда два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, затем начнется увеличение амплитуды первого маятника и т.д.

Биения можно наблюдать и в электрической системе – в двух одинаковых LC-контурах, связанных между собой слабой емкостной связью – аналог механической связи в виде пружины. Колебания в контурах (рис. 22.3) возбуждаются с помощью преобразователя импульсов (ПИ).

Для теоретических расчетов рассмотрим упрощенный вариант этой схемы (рис. 22.4), где обозначены знаки зарядов в контурах и положительное направление тока; ; Причем для наблюдения биений важно, чтобы и были сонаправлены. Для двух контуров, соединенных по схеме рис. 22.4, можно записать два уравнения, описывающих колебания зарядов Q в кон-турах:

(22.1)

Рис. 22.4

Подставляя получаем

(22.2)

Получились довольно сложные уравнения для двух переменных. Можно упростить ситуацию, написав новые уравнения, полученные сложением и вычитанием уравнений (22.2).

Сложив эти уравнения, получаем

(22.3)

Разность (22.2) имеет вид

(22.4)

С помощью проведенных математических операций удалось записать уравнения (22.2) через переменные и . Если при t = 0 переменная имеет значение , то решением (22.3) будет

, (22.5)

частота равна частоте собственных колебаний одиночного контура. Аналогично решение (22.4) приобретает вид

(22.6)

где ; – значение при t = 0 переменной .

Два вида движения, описываемые уравнениями типа (22.5) и (22.6), называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов. В данном случае они описывают колебания заряда (и, соответственно, силы тока) в системе двух связанных электрических контуров.

Если сместить из положения равновесия один из контуров, то возникают две нормальные моды колебаний. При из (22.5) и (22.6) получаем

(22.7)

(22.8)

Используя известные тригонометрические тождества:

(22.9)

(22.10)

можно записать (22.7) и (22.8) в виде

, (22.11)

(22.12)

Заключенные в квадратные скобки множители изменяются гораздо медленнее, чем множители вне скобок. Это дает основание рассматривать колебания (22.11) и (22.12) как гармонические колебания частоты , амплитуды (множители в квадратных скобках) которых изменяются по периодическим законам, с частотой .

Графики и (уравнения (22.11) и (22.12) приведены на рис. 22.2. При t = 0 амплитуда равна нулю. Амплитуда увеличивается, а падает до тех пор, пока в момент времени, определенный из соотношения , не станет равной нулю, а достигнет максимума.

Ситуацию, показанную на рис. 22.2, можно рассмотреть с энергетической точки зрения. При t = 0 вся энергия сосредоточена в контуре 1. В результате связи через емкость энергия постоянно передается от контура 1 к контуру 2 до тех пор, пока вся энергия не соберется в контуре 2. Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из уравнения , а частота, с которой контуры обмениваются энергией, равна:

. (22.13)

В теории колебаний эту частоту называют частотой биений.

Для четной моды колебаний, обозначенной знаком «+», токи текут в одинаковом направлении, тогда на емкости нет заряда. При этом частота остается такой же, как для несвязанных контуров, т.е. . В случае нечетной моды нормальных колебаний (знак «–»), емкость заряжена, что увеличивает частоту колебаний, т.е. .

Следует отметить, что, для того чтобы применить к связанным контурам рассмотренную выше теорию, они должны иметь одинаковую резонансную частоту и, кроме того, предполагается, что велика по сравнению с С, т.е. («слабая связь»). Тогда (22.13) можно преобразовать следующим образом:

(22.14)

Полученное значение частоты обмена (имеется в виду обмен энергии) или частоты «биений» можно изменять, настраивая систему контуров путем изменения номиналов радиоэлементов С, С12, L, R и т.д., добиваясь того, чтобы разностная частота была сведена к минимуму.

Исследование биений, т.е. обмена энергий в связанных контурах, и является одной из практических задач данной работы.