Краткие сведения из теории

Рассмотрим процессы, протекающие в колебательном контуре, подключенном к источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону:

(21.1)

где – напряжение на конденсаторе емкостью С; I – ток в контуре.

Полагаем, что мгновенные значения токов и напряжений удовлетворяют законам, установленным для цепей постоянного тока. Такие токи называют квазистационарными. В любой момент времени сумма падений напряжения на элементах цепи равна ЭДС (рис. 21.1):

. (21.2)

Падение напряжения на катушке индуктивностью L

(21.3)

ток в катушке и в контуре

(21.4)

Подстановка (21.3) и (21.4) в (21.2) дает

(21.5)

Разделим это уравнение на LC и введем обозначения:

Обозначая дифференцирование по времени точкой, получим дифференциальное уравнение

(21.6)

Его решение дает закон изменения напряжения на конденсаторе с течением времени и равно сумме общего решения однородного уравнения (21.7) и частного решения неоднородного уравнения (21.6):

(21.7)

Однородное уравнение (21.7) имеет решение

(21.8)

являющееся уравнением затухающих колебаний (см. лабораторную работу №19). Затухание определяется членом За время амплитуда колебаний уменьшится в е раз. Затухание в колебательном контуре связано с превращением анергии колебаний в джоулево тепло на сопротивлении . При составляющей решения (21.6) (она отражает переходный процесс, определенный начальными условиями и параметрами контура) обычно пренебрегают, так как она становится весьма малой по сравнению с частным решением вышеупомянутого уравнения. Последнее можно представить в следующем виде:

, (21.9)

где и определяются путем подстановки (21.9) в (21.6). В результате получаются следующие равенства:

(21.10)

(21.11)

Таким образом, установившиеся колебания в цепи происходят с частотой и сдвигом по фазе причем амплитуда и фаза напряжения на конденсаторе зависят от соотношения частоты источника ЭДС и частоты .

Ток в контуре

где . Амплитуда тока в контуре также зависит от соотношения частот и

(21.12)

График зависимости от представлен на рис. 21.2.

Из графика видно, что амплитуда силы тока резко возрастает при приближении циклической частоты источника ЭДС к частоте . Это явление называется резонансом, а кривые – резонансными кривыми. Величина максимума зависит от : при (кривая 3); при увеличении максимальное значение уменьшается (кривые 2 и 1), определяет разность фаз колебаний тока в контуре и внешней ЭДС:

(21.13)

Рис. 21.2 Рис. 21.3

График зависимости от частоты представлен на рис. 21.3. Кривые 1 и 2 соответствуют разным значениям . При и . Величина где называется добротностью колебательного контура. Добротность контура связана с остротой резонансных кривых. Найдем ширину резонансной кривой (рис. 21.4) при Из формулы (21.12) следует, что максимальное значение силы тока

,

а

(21.14)

При из (21.14) следует равенство

(21.15)

Выражение (21.15) можно преобразовать к виду или . В последнем равенстве (полученном при ) величина ( обозначена на рис. 21.4), и вблизи резонансной частоты можно положить . Отсюда и

(21.16)

Рис. 21.4

При малом затухании и . Тогда

(21.16а)

т.е. относительная ширина резонансной кривой численно равна обратной величине добротности контура.

Таким образом, в этом случае добротность может быть рассчитана по формуле

(21.16б)