Диэлектрическая восприимчивость.

Рассмотрим неполярный диэлектрик, помещённый во внешнее электрическое поле с напряженностью . Под действием сил поля происходит поляризация диэлектрика: смещение центров распределения положительных (ядер) и отрицательных (электронных оболочек) зарядов молекул в противоположные стороны на величину относительно друг друга. В результате молекулы приобретают электрический момент , направленный вдоль поля. Для неполярных молекул выполняется равенство

: (9.1)

неполярные молекулы во внешнем электрическом поле поляризуется диэлектрика приобретает индуцированный (наведенный) дипольный момент , пропорциональный напряженности внешнего поля. Коэффициент α зависит только от объема молекулы и называется поляризуемостью. Отметим, что в поле электронные оболочки молекул деформируются, центры распределения отрицательных зарядов молекул смещаются в диэлектрике на много порядков больше, чем центры положительных. Этот тип поляризации называют электронной или деформационной.

Состояние диэлектрика во внешнем электрическом поле характеризуют вектором , называемом поляризованностью и равному суммарному электрическому моменту всех молекул в единице объёма диэлектрика:

. (9.2)

Если в однородном неполярном диэлектрике с концентрацией молекул n все молекулы одинаковы, то и поляризуются в электрическом поле они одинаково. В этом случае используя в (9.2) значение (9.1) для можно записать

, (9.3)

где - безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Молекулы полярных диэлектриков обладают электрическим моментом и в отсутствии электрического поля, причём их момент на порядок больше момента (9.1), приобретаемого молекулами неполярного диэлектрика в электрическом поле. Однако, тепловое движение молекул приводит к хаотичному разбросу направлений их электрических моментов и в отсутствии электрического поля поляризованность диэлектрика (9.2) равна нулю. Под действием поля возникает преимущественная ориентация электрических моментов молекул вдоль поля (дипольная или ориентационная поляризация), возрастающая с увеличением напряженности и с уменьшением температуры и в не слишком сильных полях справедливо соотношение (9.3).

, (9.3)

В твердых диэлектриках, имеющих ионную кристаллическую решетку, внешнее электрическое поле вызывает смещение всех положительных ионов в направлении вектора напряженности поля, а всех отрицательных ионов – в противоположную сторону. Этот тип поляризации называется ионным. Соотношение (9.3) по-прежнему оказывается справедливым.

§11. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.Диэлектрическая проницаемость. Вектор D

Электрическое поле в диэлектрике создается как свободными, так и связанными зарядами и теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике должна отличаться от теоремы Гаусса в вакууме только тем что в (5.6)-(5.7) под зарядом q следует понимать сумму свободных и связанных зарядов (q+ q´) внутри замкнутой поверхности:

. (11.1)

Связанные заряды возникают в результате поляризации диэлектрика и их величина должна быть связана с его поляризованностью . Приведём без вывода данную зависимость, которая называется теоремой Гаусса для вектора

. (11.2)

С учётом (11.2) (11.1) преобразуется к виду : , , и уравнение записывают в виде

, (11.3)

где величину

(11.4)

называют электрическим смещением, а уравнение(10.3) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в среде.

Смысл введения вектора состоит возможности вычисления (11.3) вектора по известному распределению свободных зарядов q , а затем по вычисленному и экспериментальной зависимости от по формуле вычислить поле в среде.

Для однородного изотропного диэлектрика справедливо соотношение (10.3) и выражение (11.4) существенно упрощается: , т.е.

, (11.5)

где величину ε

(11.6)

называют диэлектрической проницаемостью среды. Величина ε среды достаточно просто определяется экспериментально по измерениям электроёмкости конденсатора с диэлектриком и без него и приведена для большинства диэлектриков в справочниках. С учётом (11.5) теорему Гаусса (11.3) для электростатического поля в среде можно записать в виде

. (11.7)

§ 12. Условия для электростатического поля на границе раздела диэлектриков

Изображения векторов на рисунках ниже достаточно условны. Между векторами , и , в двух диэлектриках, отделяемых границей раздела, существуют определенные соотношения. Для их нахождения используем теорему Гаусса (11.3) для вектора =εε₀ вблизи границы Рис. 11.1 раздела и теорему о циркуляции вектора напряженности (4.3) : . Для замкнутой поверхности S в форме цилиндра (рис. 11.1), запишем

. (1)

При выборе цилиндра достаточно малой высоты последнее слагаемое в (1) много меньше первых двух слагаемых и им можно пренебречь. Если свободные заряды q на границе раздела диэлектриков отсутствуют, то (1) упрощается

. (2)

Здесь и .

При малой величине оснований цилиндров поля вдоль поверхности оснований неизменны и выносятся в (11.2) за знак интегралов и из (2) получаем

и . (2)

Т.е. нормальная составляющая вектора при переходе из одного диэлектрика в другой не меняет своей величины, а нормальная составляющая векторов изменяется.

Теперь используем теорему оциркуляции. Выберем прямоугольный контур на границе раздела диэлектриков. Т.к. высоту h контура можно выбрать сколь угодно малой, то и

Рис.11.2. , или

. (5)

Из (5) и (11.5) также следует

, или . (6)

Найдем соотношения между углами и . Из (5) и (2)

(7)

. (8)

Т.о. линии напряжённости поля Е, а вместе с ними и линии вектора электрического смещения на границе раздела диэлектриков испытывают преломление

Рис.11.3. .

§13 Проводники в электростатическом поле

В проводниках есть свободные заряды, способные перемещаться в пределах проводника в сколь угодно слабом электрическом поле. Если проводник зарядить или просто поместить во внешнее электростатическое поле ₀, то это поле будет действовать на свободные заряды проводника, перемещая положительные вдоль поля, отрицательные – против поля. Эти заряды создадут своё поле , имеющее противоположное ₀ направление. (рис. 12.1). Результирующее поле = ₀+ будет перемещать заряды до тех пор, пока поле внутри проводника не обратится в нуль и не установится равновесное распределение зарядов, которые будут располагаться только на поверхности проводника. Процесс установления равновесия протекает чрезвычайно быстро. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Отсутствие поля внутри проводника ( ) означает, что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен, т.е. поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же вытекает, что вектор поля направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

Применим теорему Гаусса (10.7)

(12.1)

для электростатического поля вблизи поверхности проводника, окружённого однородным изотропным диэлектриком (рис.12.2). Выберем поверхность интегрирования в виде малого прямого цилиндра с площадью оснований S₀₁= S₀₂ . Заряд q , заключённый внутри объёма цилиндра равен q=σ S₀₁, а интеграл в (12.1) Е S₀₁. Приравнивая, получим

. (12.2)

В отсутствии диэлектрика

. (12.3)

Уменьшение поля (12.3) происходит за счет поля, создаваемого связанным зарядом σ´ на поверхности диэлектрика. Найдём связь между σ и σ´. Применим теперь теорему Гаусса в виде (10.1) по аналогии с изложенным выше получим

. (12.4)

Приравнивая (12.2) и (12.4) найдём

. (12.5)

§13. Электроемкость

Потенциал j (4.11) поля, создаваемого зарядом, пропорционален заряду, поэтому и потенциал уединенного, т.е. достаточно удаленного от других тел, заряженного проводника также пропорционален его заряду

j = , (13.1)

где С - электроемкость (или просто емкость) уединенного проводника: величина, численно равная заряду, который надо сообщить проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу. Емкость проводника зависит от его размеров и формы, а также от свойств окружающей его среды. Емкость уединенного шара радиуса R, вычисленная с помощью подстановки потенциала (4.11) для шара в (13.1), в среде с диэлектрической проницаемостью e равна

С = 4pe₀Re. (13.2)

Единица емкости - 1 фарад (1Ф = 1 Кл/В).

Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. Если сообщить обкладкам равные по величине и противоположные по знаку заряды q и - q, то разность потенциалов между обкладками будет пропорциональна величине q по причине, указанной выше

j₁- j₂= , (13.3)

где С - емкость конденсатора: величина, численно равная отношению заряда одной обкладки к разности потенциалов между обкладками

С = . (13.4)

Форма обкладок конденсатора и их взаимное расположение подбирают так, чтобы внешние поля не влияли на электрическое поле между обкладками, и силовые линии, начинающиеся на одной из обкладок, заканчивались на другой, поэтому обкладкам придают форму близко расположенных поверхностей с узким зазором между ними

Ёмкость конденсатора зависит от геометрических характеристик обкладок конденсатора, их взаимного расположения и диэлектрических свойств среды между ними.

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды и . Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то поле между обкладками можно считать однородным и его напряженность согласно (3.6) равна

(13.5)

Учитывая связь (4.7) между напряженностью поля и потенциалом ( ), разность потенциалов между пластинами, расстояние между которыми d, равна

(13.6)

Заменяя в формуле (13.4) , с учетом (13.6)получим:

С = , (13.7)

где S - площадь одной из плоских обкладок конденсатора, d - расстояние между обкладками, e - диэлектрическая проницаемость среды.

Рис. 13.1

При параллельном соединении (рис. 13.1) разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова и составляет . Если емкости отдельных конденсаторов то их заряды равны

Общий заряд батареи равен сумме зарядов всех конденсаторов

Полная емкость батареи

(13.8)

При последовательном соединении (рис. 13.2) незаряженных конденсаторов сумма зарядов соединённых обкладок равна нулю. В силу закона сохранения заряда она равна нулю и после зарядки. Поэтомузаряды всех конденсаторов одинаковы и равны заряду батареи. Разность Рис. 13.2

потенциалов на зажимах батареи равна сумме разностей потенциалов на обкладках каждого из конденсаторов

где

С другой стороны,

откуда

или

(13.9)

т.е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям входящих в батарею конденсаторов. При таком соединении электрическая емкость батареи всегда меньше наименьшей емкости конденсатора, используемого в батарее.

§14. Энергия электростатического поля

Рассмотрим уединенный проводник, заряд емкость и потенциал которого равны соответственно , и (потенциал в бесконечно удаленных точках полагаем равным нулю). Перенесём малый заряд из бесконечности на уединенный проводник. При этом совершим работу по преодолению сил кулоновского взаимодействия зарядов q и . Совершаемая работа идет на увеличение электрической энергии W заряженного проводника. Элементарная работа δА, совершаемая внешними силами при переносе из бесконечности на проводник, равна

δА = (14.1)

Полная работа, совершаемая при увеличении заряда проводника от 0 до q, равна

(14.2)

Полагая, что незаряженный проводник энергией не обладает, из (14.2) следует

(14.3)

Найдём выражение для энергии заряженного конденсатора. По-прежнему полагаем, что незаряженный конденсатор энергией не обладает. Если заряд конденсатора, а разность потенциалов между его обкладками, то при переносе малого заряда с одной обкладки на другую внешние силы совершают работу

(14.4)

Из (14.4) находим работу по увеличению заряда конденсатора от 0 до

(14.5)

Соответственно, энергия заряженного конденсатора равна

(14.6)

Учитывая, что конденсатор – это система из двух проводников 1 и 2, заряды которых и , формулу (1.47) можно переписать в следующем виде:

Отсюда вытекает, что энергия системы из n неподвижных заряженных проводников

(14.7)

где заряд i - проводника; потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме i – го.

Рассмотрим плоский конденсатор. Используя формулы для его ёмкости и разности потенциалов между обкладками , преобразуем выражение (14.6). Получим выражение

, (14.8)

связывающую энергию однородного электростатического поля плоского конденсатора с напряженностью поля Е и объемом пространства, занимаемого полем.

Из (14.8) следует выражение для объемной плотности энергии (энергии единицы объема) электростатического поля

(14.9)

В случае неоднородного поля его энергия в объеме V находится интегрированием (14.9) по объему V пространства, занимаемого полем

(14.10)