Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Выделим на поверхности S малый элемент dS (рис. 5.1). Пусть n - единичный вектор нормали к dS, a j угол между векторами Е и n. При вычислении некоторых поверхностных интегралов оказывается удобным представить дифференциал поверхности в векторной форме. По определению, вектором элемента площади называется dS×n, а элементарным потоком dФ вектора Е

Рис. 5.1. dФ = (Е dS) = (E n) dS = E cosj dS. (5.1)

Также по определению, потоком вектора Е через поверхность S называется поверхностный интеграл

. (5.2)

В случае замкнутой поверхности (рис. 5.1) поток

(5.3)

в (5.2) определяется по отношению к внешней нормали.

Пусть точечный заряд q окружен произвольной замкнутой поверхностью S. Напряжённость электростатического поля Ев любой точке поверхности направлена вдоль радиус-вектора данной точки и вычисляется в соответствии с законом Кулона (2.4). В пределах малой площадки dS напряжённость электростатического поля можно считать постоянной. Вычислим поток (3) вектора Е через замкнутую поверхность.

. (5.4)

В случае, когда поверхность S сферическая с центром в точке нахождения заряда q, вектора и совпадают по направлению и , а величина поля Е (2.4) одинакова по всей поверхности. Тогда вычисление интеграла (1.8) упрощается

. (5.5)

Результат вычисления потока (5.3) вектора Е через произвольную замкнутую поверхность также оказывается равным (5.5), т.е.

. (5.6)

Кроме того, если внутри поверхности находятся несколько точечных зарядов, то в правой части (5.6) под q следует понимать алгебраическую сумму зарядов внутри поверхности

. (5.7)

Если внутри поверхности находится заряд, распределённый по объёму с плотностью r, то суммарный заряд, внутри поверхности равен и (5.7) для этого случая запишется

. (5.8)

Уравнения (5.6) - (5.8) представляют собой выражения теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме:

поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов внутри поверхности к электрической постоянной e₀.

Теорема Гаусса может быть использована для вычисления напряжённости электростатического поля. Однако используется она в основном для случаев симметричного распределения зарядов, когда вычисление интегралов в правой части (5.6) - (5.8) достаточно простое.

Из уравнения (5.8) можно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет поле Е

. (5.9)

Уравнение (5.9), в отличие от уравнений (5.6) - (5.8), позволяет вычислить поле любой системы зарядов.

§6. Проводники и диэлектрики.

Все вещества по способности проводить электрический ток подразделяют на проводники и диэлектрики. Удельное сопротивление ρ_Д диэлектриков на много порядков больше чем ρ_П проводников: ρ_Д~ Ом·м, тогда как у металлических проводников ρ_М~ Ом·м. По этому признаку легко отличить диэлектрики от проводников. Различие в сопротивлении обусловлено большим количеством свободных зарядов в проводниках (электронов или ионов), способных под действием электрического поля приходить в упорядоченное движение перемещаться на значительные расстояния. В атомах и молекулах диэлектриков тоже есть заряженные частицы – электроны и протоны, но они связаны кулоновскими силами притяжения так прочно, что в отсутствии ионизации они могут лишь незначительно сместиться под действием электрического поля друг относительно друга. Поэтому заряды в молекулах диэлектриках обозначают со штрихом (q´) иназывают связанными. Свободные и связанные заряды неразличимы с точки зрения способности создавать электрическое поле.

§7. Электрический диполь.

В состав молекул вещества входят заряженные частицы, но в целом они нейтральны. Молекула, в которой «центр тяжести» отрицательных зарядов (электронов) совпадает с «центром тяжести» положительных зарядов (протонов в атомных ядрах), называется неполярной. Если «центры тяжести» не совпадают - молекула называется полярной. Полярная молекула является примером электрического диполя. По определению, электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных электрических зарядов q>0 и -q, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстояниями r от этой системы до рассматриваемых точек пространства (рис. 7.1). Плечом диполя называется вектор l, направленный от отрицательного заряда к положительному, равный по модуля расстоянию между зарядами. Электрическим моментом диполя называется произведение положительного заряда на плечо диполя:

(7.1)

Очевидно, при наличии поля электрический момент возникнет и у неполярных молекул, а у полярных он увеличится.

§8. Диполь в электрическом поле. Сила и момент силы, действующие на диполь в электрическом поле. Энергия диполя в электрическом поле.

Пусть диполь находится в электрическом поле Е. На заряды диполя со стороны поля будут действовать силы. Как и в §7 будем обозначать величины, относящиеся к положительному заряду, с индексом «+», а к отрицательному - с индексом «-». Силы

(8.1)

Создадут момент сил относительно центра масс диполя:

(8.2)

Благодаря малости размеров диполя, поля и в данном случае можно считать одинаковыми и равными , а (8.2) преобразуется :

. (8.3)

Момент сил (8.3) стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент развернулся по полю.

Аналогичными рассуждениями можно получить выражение для силы, действующей на диполь:

(8.4)

Разделим и умножим (8.4) на длину плеча l диполя и учтём её малость: .

. (8.5)

Дифференцирование в (8.5) ведётся вдоль плеча диполя.

Для энергии диполя во внешнем электрическом поле аналогичные вычисления дают : . Разделим и умножим (8.5) на длину плеча l диполя и учтём её малость: . По (4.7) производная , где проекцию на направление плеча диполя можно заменить на проекцию на направление электрического момента диполя, поскольку оба направления совпадают. . Окончательно

. (8.6)

§9. Поле диполя.

Вычислим потенциал поля, создаваемого диполем в пространстве (рис. 7.2). Будем обозначать величины, относящиеся к положительному заряду, с индексом «+», а к отрицательному - с индексом «-».

Потенциал в т. А j равен

. (9.2)

Из рис. 7.2 видно, что и (7.2) принимает вид

. (9.3)

Потенциал поля, создаваемого диполем, зависит расстояния до точек пространства и от угла, под которым направлен радиус-вектор r плечу диполяl.

Выберем систему координат в плоскости рис.7.3, орт одной оси e_rнаправлена вдоль радиус-вектора r,а другой орт e_α – перпендикулярен e_r. Используя связь (4.8) потенциала с напряжённостью поля, дифференцированием (7.3) по r и α найдём

, Е_α . (9.4)

Полная величина поля Е будет равна

. (9.5)

§10. Диэлектрики в электрическом поле.