КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ±j, где символ - мнимая единица.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис.47 изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

Рис. 47. Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости

где I - модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где - действительная составляющая тока; - мнимая составляющая; y_i = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0. Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против движения часовой стрелки, и отрицательный, - если по часовой.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают несинусоидальных - z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).

Алгебраическая форма записи:

.

Тригонометрическая форма записи:

İ = Icosy_i + jsiny_i .

Показательная форма записи:

İ = Ie^jyi .

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи

e^±jα =cosα±j sinα.

Например:

İ = 10e ^j37º = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 · 0,8 + j10 · 0,6 = 8 + j6

İ = 8 + j6= = 10e^+j37º (А).

При работе с комплексными числами (İ) используют и сопряженные комплексные величины(I*), имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

İ = 10e ^j37º, А; I* =10e^–j37º, А.

Произведение İ · I* = 10e ^j37º · 10e^–j37º = 100e^j0°, À.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Таблица 22

Двухполюсник	Резистор (резистивное сопротивление	Катушка (индуктивное реактивное сопротивление	Конденсатор (емкостное реактивное сопротивление)
Обозначение
Связь между мгновенными значениями u и i	i= uR/R	uL = Ldi/dt	iС = CduC/dt
Если задано	uR = Umaxsinωt	uL = Umaxsinωt	uC = Umaxsinωt
То имеем	i = maxsinωt/R	i = Umaxsin(ωt – – π/2)/ωL = = Imax sin(ωt – π/2)	i= ωCUmaxcosωt= = Imax sin(ωt +π/2)
Действующее значение тока	I = UR/R	I = UL/ωL	I =ωCUC
Сопротивление (реактивное сопротивление)	R	XL = ωL	XC = 1/ωC
Сдвиг фаз	φ = ψU – ψi = 0	φ = ψU – ψi =+90	φ = ψU – ψi = –90 ͦ
Сдвиг по фазе
Комплексное сопротивление
Расчет комплексным методом
Зависимость сопротивления от частоты	R R   ω	XL ωL   ω	XC 1/ωC   ω

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ КОМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

Задача 1.

Определить ток и напряжения на участках цепи рисунке 48, если известны следующие данные:

Рис. 48. Цепь с последовательным включением R и XL

=220 В; R = 8 Ом; X_L =6 Ом; Ψ_U=0

Решение

Комплексное сопротивление цепи, Ом:

Ток цепи:

Начальная фаза тока ψ_i = –37°; показания амперметра 22 А

Напряжения участков цепи:

На резисторе R показания вольтметра 176 В.

На катушке X_L показания вольтметра 132 В.

Задача 2.

Определить ток, напряжения на участках цепи и мощности электрической цепи при последовательном соединении R, L и C элементов (рисунок 49), если известны следующие данные:

Рис. 49. Пример к расчету цепи с последовательным включением R, XL, XС

=220 В; R = 8 Ом; X_L =6 Ом, Х_С = 12 Ом; ψ_U=0

Решение

Определяем комплексное сопротивление цепи, Ом:

arctq(X_L-Х_С)/R = arctg (6 12)/8 = – 37°

Определяем комплексный ток, А:

Определяем комплексные напряжения на участках цепи, В:

Определяем комплексную полную мощность цепи, ВА:

Активная мощность: Р = 3872 Вт.

Реактивная (емкостная) мощность: Q = –2904 вар.