ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СВОЙСТВАМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА С

R – , L –, С – ЭЛЕМЕНТАМИ.

Цель работы: получить навыки измерения и расчета сопротивлений и мощностей в цепи синусоидального тока; приобрести навыки сборки электрической схемы.

1. Общие сведения.

Схемы замещения элементов электрических цепей синусоидального тока (математические модели электрических цепей) составляются с помощью условных обозначений R–, L–, С– элементов. Параметры этих элементов:

- резистивный элемент с активным сопротивлением R, Ом, или активной проводимостью G = 1/R, Cм;

- индуктивный элемент с индуктивностью L, Гн, и реактивным индуктивным сопротивлением X_L= 2πƒL, Ом или реактивной индуктивной проводимостью B_L = 1/X_L, См;

- емкостный элемент с емкостью С, Ф, и реактивным емкостным сопротивлением X_C =1/2πƒC, Ом или реактивной емкостной проводимостью B_C = 1/X_C См.

Цепь с резистивным элементом.

Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами (реостат, лампа накаливания). Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R,представленной на рисунке 2приложено напряжение u = U_m_ахsinωt.

Рис. 2. Электрическая цепь с активным сопротивлением R

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенного значения напряжения u = Ri, т. е.

где I_m_ах= U_m_ах/R или I = U/R.

Рис. 3. Векторная диаграмма тока и напряжения в цепи с R- элементом

Рис. 4. Временная диаграмма тока и напряжения в цепи с R- элементом

Из вышеприведенного видно, что вектора напряжения и тока в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе, что показано на векторной (рисунок 3) и временной (рисунок 4) диаграммах.

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи с активным элементом (при начальной фазе напряжения y_u=0) равен нулю.

j = y_u- y_i= 0° - 0° = 0°

Комплексные напряжение и ток цепи с резистивнымэлементом:

= e^j⁰; φ_u = 0°;

İ = İ e^j⁰; φ_i = 0° .

Тогда комплексное сопротивление цепи равно

Z = /İ = U e^j⁰/I e ^j⁰= R,

т. е.комплексное сопротивление цепи с резистивным элементомравно положительному вещественному числу, модуль которого равен R

Векторная диаграмма – это совокупность изображений на комплексной плоскости значений токов и напряжений, Каждый вектор вычерчивается с учетом его амплитуды и угла начальной фазы, За начало отсчета угла фазы принимается положительное направление оси действительных чисел (0, +1) комплексной плоскости.

Временная диаграмма – это изображение на плоскости, синусоидально изменяющиеся с одной и той же частотой величин напряжений, токов.

Размеры амплитуд векторов токов и напряжений на векторных диаграммах и амплитуд синусоид на временных диаграммах выполняются в соответствующих масштабах (для токов и напряжений)

Мощность цепи:

p = ui = U_mахsinωtI_m_ахsinωt = U_m_ахI_m_ахsin²ωt = UI(1 – cos2ωt),

т. к. напряжение и ток в цепи с R-элементом совпадают по фазе, мгновенное значение мощности всегда положительно. Таким образом, в цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Примером резистивного элемента может служить ТЭН, лампа накаливания и др. Так как cosφ = 1, то среднее значение мощности за период равно активной мощности.

Р = UI = RI²,

где Р – активная мощность цепи, Вт, кВт, мВт.

Полная мощность цепи с R-элементом равна активной мощности, которая характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразование в другие виды энергии. Это активный необратимый процесс. Временная диаграмма мощности цепи приведена на рис.4.

В комплексной форме полная мощность:

, ВА

где I^* – комплексно сопряженноезначение тока

Активная мощность измеряется ваттметром Р_W = UI = RI², действующее значение тока – амперметром, а действующее значение напряжения – вольтметром. Таким образом, активное сопротивление цепи, содержащей только резистивный элемент, можно определить по показаниям амперметра и вольтметра или по показаниям ваттметра и амперметра.

R = U_R/I, P = P_W.

Цепь с емкостным элементом.

Конденсатор – это элемент электрической цепи, обладающий емкостью. Конденсатор состоит из двух пластин с большой поверхностью, выполненных из проводникового материала и разделенных диэлектриком. Емкость конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

При подаче на конденсатор синусоидального напряжения в силу того, что напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, меняется и заряд на пластинах конденсатора. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Рис. 5. Электрическая цепь с С-элементом

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С (рис. 5).

Пусть напряжение источника питания u = U_махsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора накапливается заряд Q = Cu_c, где u_с - падение напряжения на конденсаторе.

По второго закона Кирхгофа для цепи имеем u = u_c.

Следовательно, ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени равен:

i = dQ/dt = ωCU_m_ахcosωt = ωCU_m_ахsin(ωt + π/2) = I_mахsin(ωt + π/2),

где амплитуда тока I_m_ах = ωCU_m_ах = U_m_ах/(1/ωC).

Таким образом, в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления, с/Ф = с В/Кл = = с В/с А = Ом). Это емкостное сопротивление

X_с = 1/ωC = 1/2πfC = U_c/I

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора.

Комплексные напряжение и ток цепи

= U e^j⁰; ψ_u = 0º;

İ = I e ^j⁹⁰; ψ_i = + 90º;

Сдвиг по фазе φ между напряжением и током (при начальной фазе напряжения y_u=0) равен –90^° (ток опережает по фазе напряжение на 90^°)

φ = ψ_u - ψ_i = 0º - 90º = - 90º.

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = U e^j⁰/I e^j⁹⁰= Х_с e^-^j⁹⁰ = -j X_с.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с С-элементом равно отрицательному мнимому числу. Модуль комплексного сопротивления

Мощность цепи:

Р = ui = U_mахsinωt I_mахsin(ωt + 90°) = U I sin2ωt,

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода, когда ток совпадает по направлению с напряжением, мощность положительна и энергия передается от источника питания к цепи, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора.

Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуетсяреактивной мощностью Q_с, равной амплитуде мгновенного значения мощности

Q_с = UI = - X_сI²,

где Q_с – реактивная мощность цепи, вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи с С-элементом равна реактивной мощности.

В комплексной форме полная мощность:

S = = S e^j^φ = U I cos90° - j U I sin90° = - j U I, ВА

Рис. 6. Временная диаграмма тока и напряжения в цепи с C- элементом

Изменение мощности в цепи с С-элементом а также временая диаграмма напряжения и тока представлены на рис. 6.

Рис. 7. Векторная диаграмма тока и напряжения в цепи с С- элементом

Векторная диаграмма (на комплексной плоскости) напряжения и тока представлена на рис. 7.

В цепи с С- элементом емкостное сопротивление Х_с и реактивная мощность Q_c определяются по показаниям вольтметра U_c и амперметра I и равны :

Х_с = U_c/ I ,Ом; Q_c = U_c I вар.

Ваттметр, включенный в цепь с емкостным сопротивлением, показывает нулевое значение активной мощности. Конденсатор является идеальным реактивным элементом и активную мощность не рассеивает

источнике питания , . Комплексное сопротивление цепи , X_L = 2πƒL, R = 0, φ = arctg(X_L/R) = 90˚, X_L/0 = ∞, arctg ∞ = 90°. Ток цепи İ_L= /Z _L = Ue^j⁰/X_Le⁺^j^90˚= (U/X_L) e^–^j^90˚= = I_L e^–^j⁹⁰. Мощность цепи S = Q_L= X_LI_L² , P = 0. Коэффициент мощности cos φ = 0 , φ = + 90º.

Цепь с индуктивным элементом.

Трансформаторы, электрические двигатели, дроссели, кроме активного сопротивления обладают индуктивным сопротивлением. Индуктивностью обладают все проводники с током. В ряде случаев она мала и ею пренебрегают, но значительна там, где обмотки катушек состоят из большого числа витков провода.

Индуктивность возрастает, если магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику).

Рассмотрим цепь с идеальной катушкой индуктивности с постоянной индуктивностью L, у которой активное сопротивление R_к = 0. (Рис. 8.)

Рис. 8. Электрическая цепь с L-элементом

Пусть к цепи приложено напряжение u = U_mахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i, который создает магнитный поток Ф. Согласно закону электромагнитной индукции магнитный поток Ф индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

е_L = - w dФ/dt = - L di/dt,

где w - число витков катушки.

Знак «минус» согласно принципу электромагнитной индукции (закон Ленца) указывает на то, что е_L всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

На рисунке показаны условные положительные направления напряжения u, тока i, ЭДС самоиндукции e_L на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС е_L выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно напряжению на катушке u_L.

По II ЗК имеем u - u_L = 0, а с учетом того, что u_L = - е_L, получаем

u = e_L = 0

Тогда

U_m_ахsinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = U_m_ахsinωt/L.

При решении этого уравнения получаем выражение для тока в цепи:

i = (U_m_ах/L)sinωtdt = - U_m_ахcosωt/ωL = U_m_ахsin (ωt- π/2)/ωL =

= I_m_ахsin(ωt - π/2).

Таким образом, в цепи с индуктивностью ток отстает по фазе от напряжения на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = Ом.

Это индуктивное сопротивление X_L = ω L = 2 π f L.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. Тогда:

I_m_ах= U_m_ах/X_L, или I = U /X_L.

Так как ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то X_L I = U = Е_L

Следовательно, индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током i и ЭДС самоиндукции e_L.

Комплексные напряжение и ток цепи

= Ue^j⁰, ψ_u= 0^o;

İ = Ie ^-^j⁹⁰, ψ_i = - 90^o.

Сдвиг по фазе между напряжением и током (при начальной фазе напряжения ψ_u= 0)

φ = ψ_u– ψ_i= 0° – (-90° ) = +90^o

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = U e^j⁰/I e ^-^j⁹⁰= X_Le^j⁹⁰ = j X_L.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с L-элементом равно положительному мнимому числу.

Модуль комплексного сопротивления

Z = X_L

Мощность цепи с L-элементом:

р = u i = U_m_ах sinωt - I_m_ах sin(ωt - 90°) = - U I sin2ωt.

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода ток направлен от цепи к источнику питания, а во вторую и четвертую – от источника питания к цепи. Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью Q_L = U I.

Реактивная мощность цепи Q_L = U_L I = X_L I², вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи в комплексной форме:

S = = S e^j^φ = U I cos90° + j U I sin90° = jUI, ВА

Рис. 9. Временная диаграмма тока и напряжения в цепи с L- элементом

Изменение мощности а также временная диаграмма цепи с идеальной индуктивностью представлены на рисунке 9

Векторная диаграмма (на комплексной плоскости) цепи с идеальной индуктивностью представлены на рисунке 10

Рис. 10. Векторная диаграмма тока и напряжения в цепи с L- элементом

Цепь с реальной индуктивной катушкой.

Рис. 11. Электрическая цепь реальной катушки индуктивности, содержащей R– и L– элементы

Схема замещения реальной индуктивной катушки содержит R и L – элементы (рис.11). Наличие активного сопротивления связано с тем, что материалом для изготовления катушки служит металлический провод, обладающий активным сопротивлением.

Комплексное сопротивление цепи

Z_экв= R + jX_L = ze^jφ

φ = arctgX_L/R

Ток цепи

İ = /Z_экв..

Напряжения участков цепи :

= R İ; U_L = jX_L İ

Рис. 12. Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой; ψ_i = 45º

Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой представлена на рис.12.