Указания к практической оценке точности интерполирования

Остаточный член формулы Лагранжа для Pn(x) имеет вид (1)

где П_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n), ,xЄ[a,b]. На практике воспользоваться этой формулой не представляется возможным. Рассмотрим практические правила. Если многочлен P_k(x) хорошо приближает функцию f(x), то Признаком хорошего приближения является условие то есть конечные разности порядка k близки к одной и той же постоянной величине. Тогда из (1) имеем,

(2). Обозначив ε_n –максимальную погрешность приближения интерполяционного многочлена Ньютона, используя (2) можно получить оценку

Можно оценить величину П_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n) при n<6 на отрезке [a,b]. Пусть x₀=a,x_n=b,h=(b-a)/n. Введем переменную t=x-(a+b)/2. Получим многочлен П_n+1(t+(a+b)/2), который обозначим Q_n+1(t) Можно доказать, что Q_n+1(t) является четной функцией при нечетном n и нечетной функцией при четном n. Получим оценку для n=4. Решения уравнения Q’(t)=0: t₁ ≈ 0.543h, t₂≈1.644h.

Q(t₁) ≈1.418h⁵, Q(t₂) ≈(-3.631)h⁵. Значит окончательно для искомой величины имеем:

Результаты оценок:

для для

для для

Варианты заданий

№п/п	Функция	Отрезок	№п/п	Функция	Отрезок
		[6;9]			[5;8]
		[2;5]			[6; 9]
		[3;6]			[4;7]
		[4;7]			[8; 11]
		[5;8]			[7; 10]
		[10;13]			[9; 12]
		[8;11]			[10; 13]
		[2;5]			[5;8]
		[3;6]			[10;13]
		[4;7]			[16;19]