Потенциал поля

Работа сил электростатического опля при перемещении точечного заряда из точки 1 в точку 2

(35.1)

не зависит от траектории перемещения заряда , а зависит только от положения точек 1 и 2. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным. Можем написать

(35.2)

где — убыль потенциальной энергии поля при переходе из точки 1 в точку 2.

Введем скалярную величину

(35.3)

и назовем ее потенциалом электрического поля. Потенциал φ равен потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда в данной точке поля. Единицей измерения потенциала является вольт (В).

Подставляя выражение в соотношение (35.2), получаем

(35.4)

где — убыль потенциала электрического поля при переходе из точки 1 в точку 2.

С учетом выражения (35.4) запишем соотношение (35.1) в виде

(35.5)

Формула (35.5) дает возможность найти потенциал любого электростатического поля. Найдем потенциал поля точечного заряда q. Так как где — приращение потенциала, имеем для элементарного перемещения

(35.6)

С учетом выражения (31.3) можем написать

(35.7)

(мы учли, что скалярное произведение — элементарному приращению модуля радиус-вектора (рис. 35.1)).

Рис. 35.1

Подставим выражение (35.7) в соотношение (35.6) и проинтегрируем:

(35.8)

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Из выражения (35.8) видно, что в зависимости от знака заряда q, потенциал φ может быть как положительным, так и отрицательным.

Найдем потенциал поля системы N точечных зарядов . Используя принцип суперпозиции электрических полей, можем написать

откуда

(35.9)

где — потенциал поля в интересующей нас точке, создаваемый i-м точечным зарядом в отсутствие других точечных зарядов. Следовательно, принцип суперпозиции справедлив и для потенциала электрического поля.

Пример 35.1. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов приобрела скорость Найти удельный заряд частицы (отношение ее заряда q к массе m).

Дано:	Решение
q/m – ?

Ответ:

§ 36. Связь между φ и

Пусть перемещение параллельно оси x. В этом случае

где dx — элементарное приращение координаты x. Можем написать

где E_x — проекция вектора на ось x. Учитывая выражение (35.6), получаем

(36.1)

где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать только по x, считая y и z при этом постоянными. Аналогично получаем

(36.2)

(36.3)

Сам вектор

(36.4)

Выражение в скобках есть градиент потенциала φ (grad φ). Следовательно,

(36.5)

— напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала φ этого поля.

Пример 36.1. Имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плоскостью σ. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии x от плоскости.

Дано: σ x	Решение Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом примера 33.1. Можем написать
φ – ?

(36.6)

откуда

(36.7)

Подставим выражение (33.5) в соотношение (36.7) и проинтегрируем:

или

(36.8)

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при x = 0).

Графически зависимость φ(x) электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости представлена на рис. 36.1.

Рис. 36.1

Пример 36.2. Имеем равномерно заряженную сферу с поверхностной плотностью заряда σ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра сферы.

Дано: σ R r	Решение Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом примера 33.2. Можем написать
φ – ?

(36.9)

где — единичный вектор радиус-вектора , проведенного из центра сферы, помещенного в начало координат, до интересующей нас точки поля. Из соотношения (36.9) следует

(36.10)

Так как внутри сферы (r < R) Е = const, согласно соотношению (36.10)

(36.11)

Следовательно, потенциал φ поля во всех точках внутри сферы одинаков.

Определим φ в точке, находящейся вне заряженной сферы (r > R). Подставим выражение (33.9) в соотношение (36.10) и проинтегрируем:

(36.12)

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженной сферы убывает с расстоянием r. На поверхности сферы (r = R), а также во всех точках внутри сферы

(36.13)

Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженной сферы представлена на рис. 36.2.

Рис. 36.2

Пример 36.3. Имеем равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда ρ. Радиус сферы R. Определить потенциал φ электрического поля на расстоянии r от центра шара.

Дано: ρ R r	Решение Для нахождения потенциала φ воспользуемся соотношением (36.5) и результатом решения примера 33.3. Можем написать
φ – ?

(36.14)

где — единичный вектор радиус-вектора , проведенного из центра шара, помещенного в начало координат, до интересующей нас точки поля. Из соотношения (36.14) следует

(36.15)

Сначала определим φ в точке, находящейся внутри заряженного шара (r < R). Подставим выражение (33.14) в соотношение (36.15) и проинтегрируем

откуда

(36.16)

где — потенциал в центре шара. Следовательно, потенциал φ поля внутри заряженного шара убывает с расстоянием r.

Теперь определим φ в точке, находящейся вне заряженного шара (r > R). Подставим выражение (33.15) в соотношение (36.15) и проинтегрируем:

(36.17)

(при интегрировании мы приняли φ = 0 при r = ∞). Следовательно, потенциал φ поля вне заряженного шара убывает с расстоянием r.

На поверхности шара (r = R)

(36.18)

Записав выражение (36.16) для поверхности шара

найдем потенциал в центре шара:

(36.19)

откуда получаем окончательное выражение для φ в точке, находящейся в центре шара:

(36.20)

Графически зависимость φ(r) электрического поля равномерно заряженного шара представлена на рис. 36.3.

Рис. 36.3