Конечные расширения полей

Пусть F и Р – два поля, причем F Ì Р. Тогда F называется подполем поля Р, которое в свою очередь называется надполем поля F, или его расширением. Каждое поле содержит так называемое простое подполе, т.е. поле, порожденное единицей. Если характеристика поля положительна (равна р), то простое подполе изоморфно F_р. Если характеристика равна нулю, то простое подполе изоморфно полю рациональных чисел. Таким образом, каждое поле является расширением своего простого подполя.

Поле Р можно рассматривать как векторное пространство над полем F. Размерность этого пространства называется степенью расширения F Ì Р и обозначается [P: F]. Например: [С: R] = 2, [R: Q] = ¥, [F₄ : F₂]= 2.

Теорема 1. Пусть даны два расширения F Ì Р, Р Ì К конечной степени. Тогда

[K:F]=[P:F][K:P].

Элемент a Î Р называется алгебраическим над полем F, если он является корнем многочлена f(х)ÎF(x), f(x)=0. Многочлен f(x) называется аннулирующим многочленом элемента a. Среди всех аннулирующих многочленов можно выбрать многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным многочленом элемента a. Минимальный многочлен очевидно неприводим, т.е. не разлагается в произведение многочленов меньшей степени. Минимальный многочлен определен однозначно.

Теорема 2. Всякое расширение F Ì Р конечной степени алгебраично, т.е. все элементы поля Р алгебраичны над полем F.

Теорема 3. Все аннулирующие многочлены для данного элемента aÎ Р образуют главный идеал в кольце F[x]. Он порожден минимальным многочленом т(х), т.е. имеет вид m(x)F[x].

Пусть F Ì Р – произвольное расширение, aÎР. Обозначим через F[a] наименьшее подкольцо поля Р, содержащее элемент a и поле F, a через F(a)– наименьшее подполе с аналогичным условием. Очевидно, что

F[a]={f(a)|f(x) ÎF[x]},

Теорема 4. Если элемент a алгебраичен над F, тo F[a]=F(a)@F[x]/m(x)F[x], где т(х) – минимальный многочлен для a.

F Ì F[a] называется простым алгебраическим расширением. Элемент a называется примитивным элементом расширения. Степень этого расширения равна степени минимального многочлена. Пусть т(х) =a₀ + a₁х + ...+ a_пx^п. Тогда п элементов 1, a, a²,..., a^п-1 образуют базис расширения. В самом деле, они ли­нейно независимы, так как их меньше, чем степень минимального многочлена. Пусть f(а) – произвольный элемент поля F[a]. Разделим многочлен f(x) с остатком на т(х). Имеем f(x) = т(x)g (х) + r(х). Поэтому f(a)=r(a), что линейно выражается через 1, a, a², ..., a^п-1.