Система сравнений первой степени

Система сравнений

a₁х º b₁(mod m₁);

a₂x º b₂(mod m₂);

… (3.1.10.1)

a_nx º b_n(mod m_n)

сводится к системе

х º b₁(mod m₁);

x º b₂(mod m₂); (3.1.10.2)

…

x º b_n(mod m_n).

Для решения последней достаточно уметь решать систему

х º b₁(mod m₁);

x º b₂(mod m₂). (3.1.10.3)

Система (3.1.10.3) в случае ее разрешимости имеет единственное решение по модулю [т₁,т₂]. Исходная система (3.1.10.1) в случае ее разрешимости имеет единственное решение по модулю [т₁,т₂, ...,т_n].

В случае, когда все модули т₁,т₂, ...,m_n попарно взаимно простые, к системе (3.1.10.2) применим так называемый китайский способ. Определим числа х₁,х₂, ...,х_п из условий т₂т₃ ...m_nx₁ ºl(mod т₁), т₁т₃ ...m_nх₂ º1(mod т₂), …, т₁т₂ ...m_n-1х_пº1 (mod т_т). Тогда решением системы (3.1.10.2) будет число

х= т₂т₃ ...m_nx₁b₁ + т₁т₃ ...m_nx₂b₂ + ...+ т₁т₂ ...m_n-1x_пb_п.

Теорема (китайская теорема об остатках). Система сравнений (3.1.10.2) при попарно взаимно простых модулях имеет единственное решение по модулю произведения.